首页 > 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和sn满足s1＞1，且6sn=（an+1）（an+2）（n为正整数）．（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn=an，n为偶数2an，n为奇数，求

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和sn满足s1＞1，且6sn=（an+1）（an+2）（n为正整数）．（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn=an，n为偶数2an，n为奇数，求

题目简介

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和sn满足s1＞1，且6sn=（an+1）（an+2）（n为正整数）．（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn=an，n为偶数2an，n为奇数，求

题目详情

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和sn满足s1＞1，且6sn=（an+1）（an+2）（n为正整数）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn=
an，n为偶数
2an，n为奇数
，求Tn=b1+b2+…+bn；
（3）设Cn=
bn+1
bn
，(n为正整数)，问是否存在正整数N，使得n＞N时恒有Cn＞2008成立？若存在，请求出所有N的范围；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：长宁区二模

答案

（1）n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1＞1，解得a1=2．…..（2分）
n≥2时，6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2，
两式相减得：6an=an2-an-12+3an-3an-1
即（an+an-1）（an-an-1-3）=0，
∵an+an-1＞0，
∴an-an-1=3，
∴{an}为等差数列，an=3n-1．…．（6分）
（2）bn=
3n-1，n为偶数
23n-1，n为奇数
，Tn=b1+b2+…+bn．…..（7分）
当n为偶数时，
Tn=（b1+b3+…+bn-1）+（b2+b4+…+bn）
=
4(1-8class="stub"n
2
)
1-8
+
class="stub"n
2
(5+3n-1)
2
=class="stub"4
7
(8class="stub"n
2
-1)+
n(3n+4)
4
，…．（9分）
当n为奇数时，Tn=（b1+b3+…+bn）+（b2+b4+…+bn-1）
=
4(1-8class="stub"n+1
2
)
1-8
+
class="stub"n-1
2
(5+3n-4)
2
=class="stub"4
7
(8class="stub"n+1
2
-1)+
(n-1)(3n+1)
4
．…（11分）∴Tn=
class="stub"4
7
(8class="stub"n
2
-1)+
n(3n-4)
4
，n为偶数
class="stub"4
7
(8class="stub"n+1
2
-1)+
(n-1)(3n+1)
4
，n为奇数
…..（12分）
（3）Cn=
2an+1
an
=
23n+2
3n-1
，n为偶数
an+1
2an
=class="stub"3n+2
23n-1
，n为奇数
，…..（14分）
当n为奇数时，Cn+2-Cn=class="stub"3n+8
23n+5
-class="stub"3n+2
23n-1
=class="stub"1
23n+5
[3n+8-64(3n+2)]＜0，…（15分）
∴Cn+2＜Cn，
∴{Cn}递减，…..（16分）
Cn≤C1=class="stub"5
4
＜2008，…..（17分）
因此不存在满足条件的正整数N．…..（18分）

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