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已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=1n(an+3)（n∈N*），Sn=

题目简介

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=1n(an+3)（n∈N*），Sn=

题目详情

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
1
n(an+3)
（n∈N*），Sn=b1+b2+…+bn，求Sn；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn，是否存在实数t，使得对任意的n均有：8Sn≤t（an+3）成立？若存在，求出t的范围，若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，…2 分
整理得2a1d=d2．
∵a1=1，解得（d=0舍），d=2．  …4 分
∴an=2n-1（n∈N*）．   …6 分
（Ⅱ）bn=class="stub"1
n(an+3)
=class="stub"1
2n(n+1)
=class="stub"1
2
（class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
），
∴Sn=b1+b2+…+bn=class="stub"1
2
[（1-class="stub"1
2
）+（class="stub"1
2
-class="stub"1
3
）+…+（class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
）]=class="stub"1
2
（1-class="stub"1
n+1
）=class="stub"n
2(n+1)
．   …10 分
（Ⅲ）假设存在整数t满足8Sn≤t（an+3）总成立．
得t≥class="stub"2n
(n+1)2
，而class="stub"2n
(n+1)2
=class="stub"2
n+class="stub"1
n
+2
≤class="stub"2
2+2
=class="stub"1
2
，即class="stub"2n
(n+1)2
的最大值为class="stub"1
2
，
∴t≥class="stub"1
2
适合条件  …（12分）

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