首页 > 数列{an}是公差为正数的等差数列，a2、a5且是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-12bn(n∈N*)，（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）记c

数列{an}是公差为正数的等差数列，a2、a5且是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-12bn(n∈N*)，（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）记c

题目简介

数列{an}是公差为正数的等差数列，a2、a5且是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-12bn(n∈N*)，（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）记c

题目详情

数列{an}是公差为正数的等差数列，a2、a5且是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-
1
2
bn(n∈N*)，
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵等差数列{an}的公差d＞0，a2、a5且是方程x2-12x+27=0的两根，
∴a2=3，a5=9．
∴d=class="stub"9-3
5-2
=2，
∴an=a2+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
又数列{bn}中，Tn=1-class="stub"1
2
bn，①
∴Tn+1=1-class="stub"1
2
bn+1，②
②-①得：
bn+1
bn
=class="stub"1
3
，又T1=1-class="stub"1
2
b1=b1，
∴b1=class="stub"2
3
，
∴数列{bn}是以class="stub"2
3
为首项，class="stub"1
3
为公比的等比数列，
∴bn=class="stub"2
3
•(class="stub"1
3
)n-1；
综上所述，an=2n-1，bn=class="stub"2
3
•(class="stub"1
3
)n-1；
（2）∵cn=an•bn=（2n-1）•class="stub"2
3
•(class="stub"1
3
)n-1，
∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn
=1×class="stub"2
3
+3×class="stub"2
3
×class="stub"1
3
+…+（2n-1）×class="stub"2
3
×(class="stub"1
3
)n-1，③
∴class="stub"1
3
Sn=class="stub"2
3
×class="stub"1
3
+3×class="stub"2
3
×(class="stub"1
3
)2+…+（2n-3）×class="stub"2
3
×(class="stub"1
3
)n-1+（2n-1）×class="stub"2
3
×(class="stub"1
3
)n，④
∴③-④得：class="stub"2
3
Sn=class="stub"2
3
+class="stub"4
3
[class="stub"1
3
+(class="stub"1
3
)2+(class="stub"1
3
)3+…+(class="stub"1
3
)n-1]-（2n-1）×class="stub"2
3
×(class="stub"1
3
)n，
Sn=1+2[class="stub"1
3
+(class="stub"1
3
)2+(class="stub"1
3
)3+…+(class="stub"1
3
)n-1]-（2n-1）×(class="stub"1
3
)n
=1+2×
class="stub"1
3
[1-(class="stub"1
3
)n-1]
1-class="stub"1
3
-（2n-1）×(class="stub"1
3
)n
=2-class="stub"2n+2
3
×(class="stub"1
3
)n-1
=2-（2n+2）×(class="stub"1
3
)n．

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