首页 > 已知数列{an}中，a1=12，点(n，2an+1-an)(n∈N*)在直线y=x上，（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）令bn=an+1-an-1，求证：数列{bn}是等比数列；（Ⅲ）设Sn、Tn

已知数列{an}中，a1=12，点(n，2an+1-an)(n∈N*)在直线y=x上，（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）令bn=an+1-an-1，求证：数列{bn}是等比数列；（Ⅲ）设Sn、Tn

题目简介

已知数列{an}中，a1=12，点(n，2an+1-an)(n∈N*)在直线y=x上，（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）令bn=an+1-an-1，求证：数列{bn}是等比数列；（Ⅲ）设Sn、Tn

题目详情

已知数列{an}中，a1=
1
2
，点(n，2an+1-an)(n∈N*)在直线y=x上，
（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）令bn=an+1-an-1，求证：数列{bn}是等比数列；
（Ⅲ）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{
Sn+λTn
n
}为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由题意，∵点（n，2an+1-an）在直线y=x上，
∴2an+1-an=n
∵a1=class="stub"1
2
，∴a2=class="stub"3
4
，
同理，a3=class="stub"11
8
，a4=class="stub"35
16
；
（Ⅱ）证明：∵bn=an+1-an-1，2an+1-an=n
∴bn+1=an+2-an+1-1=
an+1+n+1
2
-an+1-1=class="stub"1
2
（an+1-an-1）=class="stub"1
2
bn，
∵b1=a2-a1-1=-class="stub"3
4

∴数列{bn}是以-class="stub"3
4
为首项，class="stub"1
2
为公比的等比数列；
（Ⅲ）存在λ=2，使数列{
Sn+λTn
n
}是等差数列．
由（Ⅱ）知，bn=-3×(class="stub"1
2
)n+1，Tn=3×(class="stub"1
2
)n+1-class="stub"3
2
，
∵an+1=n-1-bn=n-1+3×(class="stub"1
2
)n+1，∴an=n-2+3×(class="stub"1
2
)n，
∴Sn=
n(n+1)
2
-2n+3×
class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n
)
1-class="stub"1
2
=
n2-3n
2
+3-class="stub"3
2n

由题意，要使数列{
Sn+λTn
n
}是等差数列，则2×
S2+λT2
2
=
S1+λT1
1
+
S3+λT3
3

∴2×class="stub"10-9λ
16
=class="stub"1
2
-class="stub"3
4
λ+class="stub"42-21λ
48
，∴λ=2
当λ=2时，
Sn+λTn
n
=class="stub"n-3
2
，数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．

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