首页 > 已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列（n为正偶数），又f（1）=n2，f（-1）=n；（1）求数列{an}的通项an；（2）求f（12）的值

已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列（n为正偶数），又f（1）=n2，f（-1）=n；（1）求数列{an}的通项an；（2）求f（12）的值

题目简介

已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列（n为正偶数），又f（1）=n2，f（-1）=n；（1）求数列{an}的通项an；（2）求f（12）的值

题目详情

已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列（n为正偶数），又f（1）=n2，f（-1）=n；
（1）求数列{an}的通项an；
（2）求f（
1
2
）的值；
（3）比较f（
1
2
）的值与3的大小，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设数列的公差为d，
因为f（1）=a1+a2+a3+…+an=n2，则na1+
n(n-1)
2
d=n2，即2a1+（n-1）d=2n．
又f（-1）=-a1+a2-a3+…-an-1+an=n，即class="stub"n
2
×d=n，d=2．
解得a1=1．
∴an=1+2（n-1）=2n-1．
（2）f（class="stub"1
2
）=（class="stub"1
2
）+3（class="stub"1
2
）2+5（class="stub"1
2
）3+…+（2n-1）（class="stub"1
2
）n，①
两边都乘以class="stub"1
2
，可得class="stub"1
2
f（class="stub"1
2
）=（class="stub"1
2
）2+3（class="stub"1
2
）3+5（class="stub"1
2
）4+…+（2n-1）（class="stub"1
2
）n+1，②
①-②，得 class="stub"1
2
f（ class="stub"1
2
）=class="stub"1
2
+2（ class="stub"1
2
）2+2（ class="stub"1
2
）3+…+2（ class="stub"1
2
）n-（2n-1）（ class="stub"1
2
）n+1，
即class="stub"1
2
f（ class="stub"1
2
）=class="stub"1
2
+class="stub"1
2
+（ class="stub"1
2
）2+…+（ class="stub"1
2
）n-1-（2n-1）（ class="stub"1
2
）n+1．
∴f（ class="stub"1
2
）=1+1+class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+…+class="stub"1
2n-2
-（2n-1）class="stub"1
2n
=1+
1-class="stub"1
2n-1
1-class="stub"1
2
-（2n-1）class="stub"1
2n
=1+2-class="stub"1
2n-2
-（2n-1）class="stub"1
2n
=3-（2n+3）（class="stub"1
2
）n；
则f（class="stub"1
2
）=3-（2n+3）（class="stub"1
2
）n；
（3）由（2）的结论，f（class="stub"1
2
）=3-（2n+3）（class="stub"1
2
）n，
又由（2n+3）（class="stub"1
2
）n＞0，
易得3-（2n+3）（class="stub"1
2
）n＜3，
则f（class="stub"1
2
）＜3．

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