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已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=12（1-an）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=nan，求证：b1+b2+…+bn＜34．-数学

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=12（1-an）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=nan，求证：b1+b2+…+bn＜34．-数学

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=
1
2
（1-an）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=nan，求证：b1+b2+…+bn＜
3
4
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵Sn=class="stub"1
2
（1-an），∴n≥2时，Sn-1=class="stub"1
2
（1-an-1）．
两式相减可得an=class="stub"1
2
（an-1-an），∴
an
an-1
=class="stub"1
3

∵n=1时，a1=S1=class="stub"1
2
（1-a1），∴a1=class="stub"1
3

∴数列{an}是以class="stub"1
3
为首项，class="stub"1
3
为公比的等比数列
∴an=class="stub"1
3
•(class="stub"1
3
)n-1=(class="stub"1
3
)n；
（2）证明：bn=nan=n•(class="stub"1
3
)n
令Tn=b1+b2+…+bn，即Tn=1•class="stub"1
3
+2•(class="stub"1
3
)2+…+n•(class="stub"1
3
)n
∴class="stub"1
3
Tn=1•(class="stub"1
3
)2+2•(class="stub"1
3
)3+…+（n-1）•(class="stub"1
3
)n+n•(class="stub"1
3
)n+1
两式相减可得class="stub"2
3
Tn=1•class="stub"1
3
+1•(class="stub"1
3
)2+1•(class="stub"1
3
)3+…+1•(class="stub"1
3
)n-n•(class="stub"1
3
)n+1=
class="stub"1
3
[1-(class="stub"1
3
)n]
1-class="stub"1
3
-n•(class="stub"1
3
)n+1=
1-(class="stub"1
3
)n
2
-n•(class="stub"1
3
)n+1
∴Tn=
3[1-(class="stub"1
3
)n]
4
-class="stub"3n
2
•(class="stub"1
3
)n+1，
∴Tn＜class="stub"3
4
．

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