首页 > 已知数列{an}是等差数列，a1+a2+a3=15，数列{bn}是等比数列，b1b2b3=27．（1）若a1=b2，a4=b3．求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若a1+b1，a2+b2，a3

已知数列{an}是等差数列，a1+a2+a3=15，数列{bn}是等比数列，b1b2b3=27．（1）若a1=b2，a4=b3．求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若a1+b1，a2+b2，a3

题目简介

已知数列{an}是等差数列，a1+a2+a3=15，数列{bn}是等比数列，b1b2b3=27．（1）若a1=b2，a4=b3．求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若a1+b1，a2+b2，a3

题目详情

已知数列{an}是等差数列，a1+a2+a3=15，数列{bn}是等比数列，b1b2b3=27．
（1）若a1=b2，a4=b3．求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3是正整数且成等比数列，求a3的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由a1+a2+a3=15，b1b2b3=27．
可得a2=5，b2=3，
所以a1=b2=3，从而等差数列{an}的公差d=2，
所以an=2n+1，从而b3=a4=9，{bn}的公比q=3
所以bn=3n-1． …（3分）
（2）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
则a1=5-d，b1=class="stub"3
q
，a3=5+d，b3=3q．
因为a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以(a1+b1)•(a3+b3)=(a2+b2)2=64．
设
a1+b1=m
a3+b3=n
，m，n∈N*，mn=64，
则
5-d+class="stub"3
q
=m
5+d+3q=n
，整理得，d2+（m-n）d+5（m+n）-80=0．
解得d=
n-m+
(m+n-10)2-36
2
（舍去负根）．
∵a3=5+d，
∴要使得a3最大，即需要d最大，即n-m及（m+n-10）2取最大值．
∵m，n∈N*，mn=64，
∴当且仅当n=64且m=1时，n-m及（m+n-10）2取最大值．
从而最大的d=
63+7
61
2
，
所以，最大的a3=
73+7
61
2
…（16分）

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