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已知点A(1，13)是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列an的前n项和为f（n）-c，数列bn（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=Sn+Sn-1（n≥2）

题目简介

已知点A(1，13)是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列an的前n项和为f（n）-c，数列bn（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=Sn+Sn-1（n≥2）

题目详情

已知点A(1，
1
3
)是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列an的前n项和为f（n）-c，数列bn（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式．
（2）若数列{
1
bnbn+1
}的前n项和为Tn，问满足Tn＞
1000
2011
的最小整数是多少？
（3）若Cn=-
2bn
a n
，求数列Cn的前n项和Pn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵点A(1，class="stub"1
3
)是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象上一点f(1)=a=class="stub"1
3

∵等比数列an的前n项和为f（n）-c
∴当n≥2时，an=[f(n)-c]-[f(n-1)-c]=-class="stub"2
3n

∵{an}为等比数列
∴公比q=
an
an-1
=class="stub"1
3

∵a2=-class="stub"2
9
=a1q=[f(1)-c]•class="stub"1
3
=(class="stub"1
3
-c)•class="stub"1
3

∴c=1，a1=-class="stub"2
3
，an=-class="stub"2
3n
（3分）
由题设可知数列bn（bn＞0）的首项为b1=c=1Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）
∴(
Sn
-
Sn-1
)(
Sn
+
Sn-1
)=
Sn
+
Sn-1

∴
Sn
-
Sn-1
=1
∴数列{
Sn
}是首项为1，公差为1的等差数列．
则
Sn
=n，Sn=n2 bn=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1
当n=1时，b1=1，也满足bn=2n-1
数列{bn }的通项公式．bn=2n-1（6分）
（2）∵bn=2n-1
∴class="stub"1
bnbn+1
=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)
∴Tn=class="stub"1
b1b2
+class="stub"1
b2b3
+class="stub"1
b3b4
++class="stub"1
bnbn+1
=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)]=class="stub"n
2n+1

要使Tn＞class="stub"1000
2011
，
则class="stub"n
2n+1
＞class="stub"1000
2011
，即n＞90class="stub"10
11

∴满足Tn＞class="stub"1000
2011
的最小整数为91（11分）
（3）∵an=-class="stub"2
3n
，bn=2n-1
∴Cn=-
2bn
a n
=（2n-1）•3nPn=1•3+3•32+5•33++（2n-1）•3n①
3Pn=1•32+3•33+5•34++（2n-1）•3n+1..②
①-②得：-2Pn=3+2（32+33+34+3n）-（2n-1）•3n+1=3+2•
32(1-3n-1)
1-3
-（2n-1）•3n+1=（2-2n）•3n+1-6
∴Pn=3+（n-1）•3n+1．（16分）

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