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已知等差数列{an}满足：a2=5，a4+a6=22，数列{bn}满足b1+2b2+…+2n-1bn=nan，设数列{bn}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求满足13

题目简介

已知等差数列{an}满足：a2=5，a4+a6=22，数列{bn}满足b1+2b2+…+2n-1bn=nan，设数列{bn}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求满足13

题目详情

已知等差数列{an}满足：a2=5，a4+a6=22，数列{bn}满足b1+2b2+…+2n-1bn=nan，设数列{bn}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求满足13＜Sn＜14的n的集合．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）∵a2=5，a4+a6=22，
∴a1+d=5，（a1+3d）+（a1+5d）=22，
解得：a1=3，d=2．
∴
a n
=2n+1…（2分）
在b1+2b2+…+2n-1bn=nan
中令n=1得：b1=a1=3，
又b1+2b2+…+2nbn+1=（n+1）an+1，
∴2nbn+1=（n+1）an+1一nan．
∴2nbn+1=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3，
∴bn+1=class="stub"4n+3
2n
，
∴bn=class="stub"4n-1
2n-1
(n≥2)，…（5分）
经检验，b1=3也符合上式，
所以数列{bn}的通项公式为bn=class="stub"4n-1
2n-1
…（6分）
（Ⅱ）Sn=3+7•class="stub"1
2
+…+（4n-1）•（class="stub"1
2
）n-1，
class="stub"1
2
Sn=3•class="stub"1
2
+7•（class="stub"1
2
）2+…+（4n一5）•（class="stub"1
2
）n-1+（4n一1）（class="stub"1
2
）n．…（8分）
两式相减得：class="stub"1
2
Sn=3+4[class="stub"1
2
+（class="stub"1
2
）2+…+（class="stub"1
2
）n-1]一（4n一1）（class="stub"1
2
）n，
∴class="stub"1
2
Sn=3+4•
class="stub"1
2
[1-(class="stub"1
2
)n-1]
1-class="stub"1
2
-(4n-1)(class="stub"1
2
)n，
∴Sn=14-class="stub"4n+7
2n-1
．    …（10分）
∴∀n∈N*，S＜14．
∵数列{bn}的各项为正，
∴Sn单调递增，
又计算得S5=14-class="stub"27
16
＜13，S6=14-class="stub"31
32
＞13，
满足13＜Sn＜14的n的集合为{n|n≥6，n∈N}．

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