首页 > 设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为π8的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f(a3)]2-a1a3=______．-数学

设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为π8的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f(a3)]2-a1a3=______．-数学

题目简介

设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为π8的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f(a3)]2-a1a3=______．-数学

题目详情

设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为
π
8
的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f(a3)]2-a1a3=______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

∵f（x）=2x-cosx，
∴f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=2（a1+a2+…+a5）-（cosa1+cosa2+…+cosa5），
∵{an}是公差为class="stub"π
8
的等差数列，
∴a1+a2+…+a5=5a3，由和差化积公式可得，
cosa1+cosa2+…+cosa5
=（cosa1+cosa5）+（cosa2+cosa4）+cosa3
=[cos（a3-class="stub"π
8
×2）+cos（a3+class="stub"π
8
×2）]+[cos（a3-class="stub"π
8
）+cos（a3+class="stub"π
8
）]+cosa3
=2cos
(a3-class="stub"π
4
)+(a3+class="stub"π
4
)
2
cos
(a3-class="stub"π
4
)-(a3+class="stub"π
4
)
2
+2cos
(a3-class="stub"π
8
)+(a3+class="stub"π
8
)
2
cos
(a3-class="stub"π
8
)-(a3+class="stub"π
8
)
2
+cosa3
=2cosa3•
2
2
+2cosa3•cos（-class="stub"π
8
）+cosa3
=cosa3（1+
2
+
2+
2
）
则cosa1+cosa2+…+cosa5的结果不含π，
又∵f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，
∴cosa3=0，故a3=class="stub"π
2
，
∴[f(a3)]2-a1a3=π2-（class="stub"π
2
-2•class="stub"π
8
）•class="stub"π
2
=π2-
π2
8
=
7π2
8
，
故答案为：
7π2
8

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