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已知二次函数f（x）=x2-ax+a，（a≠0x∈R），有且仅有唯一的实数x值满足f（x）≤0的实数x值满足f（x）≤0．（1）在数列{an}中，满足Sn=f（n）-4，求{an}的通项；（2）在数列

题目简介

已知二次函数f（x）=x2-ax+a，（a≠0x∈R），有且仅有唯一的实数x值满足f（x）≤0的实数x值满足f（x）≤0．（1）在数列{an}中，满足Sn=f（n）-4，求{an}的通项；（2）在数列

题目详情

已知二次函数f（x）=x2-ax+a，（a≠0x∈R），有且仅有唯一的实数x值满足f（x）≤0的实数x值满足f（x）≤0．
（1）在数列{an}中，满足Sn=f（n）-4，求{an}的通项；
（2）在数列{an}中依次取出第1项、第2项、第4项…第2n-1项…组成新数列{bn}，求新数列{bn}的前n项和Tn；
（3）（理科）设数列{cn}满足cn+cn+1=2n+3，c1=1，数列{cn}的前n项和记作Hn，试比较Hn与题（1）中Sn的大小．
（4）（文科）设cn=
n
anan+1
，求数列{cn}的最大和最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解（1）∵f（x）≤0仅有唯一的x值满足，∴△=0，∴a=0或4，∵a≠0，∴a=4
Sn=n2-4n，an=
s1(n=1)
Sn-Sn-1(n≥2)
=
-3(n=1)
2n-5(n≥2)
∴an=2n-5
（2）bn：b1=2×1-5，b2=2×2-5，b3=2×4-5，…bn=2×2n-1-5
Tn=b1+b2+b3+…+bn=2（1+2+4+…+2n-1）-5n
=2
1-2n
1-2
-5n=2(2n-1)-5n=2n+1-5n-2
（3）（理科）
cn+cn+1=2n+3
cn+1+cn+2=2n+5
，∴cn+2-cn=2，c1=1，c2=4
cn：1，3，5，7，9…
  4，6，8，10…
当n为偶数，n=2k，Hn=5+9+13+…=5k+
k(k-1)
2
4=
n2+3n
2

当n为奇数，n=2k-1，Hn=1+（7+11+15+…）
=1+7（k-1）+
(k-1)(k-2)
2
4=
n2+3n-2
2

∴Hn=
n2+3n
2
，n=2k(k=1，2，3…)
n2+3n-2
2
，n=2k-1(k=1，2，3…)

当n=2k与n=2k-1时，分别比较Hn与Sn大小（作差比较）
当1≤n≤10时，Hn＞Sn
当n≥11时，Hn＜Sn
 （4）（文科）cn=class="stub"n
(2n-5)(2n-3)
=class="stub"n
4n2-16n+15
=class="stub"1
4n+class="stub"15
n
-16

c1=class="stub"1
3
，c2=-2，当n≥3时，4n+class="stub"15
n
单调递增，且4n+class="stub"15
n
-16＞0，
∴（cn）min=c2=-2；∴（cn）max=c3=1

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