已知数列{an}的前n项和为Sn，且对于任意的n∈N*，恒有Sn=2an-n，设bn=log2（an+1），（1）求证数列{an+1}是等比数列；（2）求数列{an}，{bn}的通项公式an和bn；（

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已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意的n∈N^*，恒有S_n=2a_n-n，设b_n=log₂（a_n+1），
（1）求证数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（3）设cn=

2bn

an•an+1

，①求数列{c_n}的最大值．②求

lim

n→∞

(c₁+c₂+…+c_n）．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）当n=1时，S1=2a1-1，得a1=1．                   （1分）
∵Sn=2an-n，
∴当n≥2时，Sn-1=2an-1-（n-1），
两式相减得：an=2an-2an-1-1，
∴an=2an-1+1．    （3分）
∴an+1=2an-1+2=2（an-1+1），（5分）
∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．   （6分）
（2）由（1）得an+1=2•2n-1=2n，∴an=2n-1，n∈N*．   （8分）
∴bn=log2（an+1）=log22n=n，n∈N*．               （10分）
（3）cn=

anan+1

，cn+1=

2n+1

an+1an+2

①

cn+1-cn=

2n+1

(2n+1-1)(2n+2-1)

(2n-1)(2n+1-1)

-2×4n-2n

(2n+1-1)(2n+2-1)(2n-1)

＜0

∴数列{cn}单调递减．（12分）
∴①n=1时数列{cn}的最大值为c1=class="stub"2

．（14分）
②由cn=

(2n-1)(2n+1-1)

=class="stub"1

2n-1

-class="stub"1

2n+1-1

，（16分）
所以c1+c2+…+cn=1-class="stub"1

2n+1-1

．∴

lim

n→∞

(c1+c2+…+cn）=1．（18分）

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下一篇 : 等差数列{an}中，a2=5，a5=14，则通

已知数列{an}的前n项和为Sn，且对于任意的n∈N*，恒有Sn=2an-n，设bn=log2（an+1），（1）求证数列{an+1}是等比数列；（2）求数列{an}，{bn}的通项公式an和bn；（

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