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已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n，数列{bn}的前n项和Tn=2-bn．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn4，求证数列{cn}的前n和Rn＜4；（III）设c

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n，数列{bn}的前n项和Tn=2-bn．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn4，求证数列{cn}的前n和Rn＜4；（III）设c

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n，数列{bn}的前n项和Tn=2-bn．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=
anbn
4
，求证数列{cn}的前n和Rn＜4；
（III）设cn=an+（-1）nlog2bn，求数列{cn}的前2n和R2n．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）∵数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n，
∴a1=S1=2+2=4，
an=Sn-Sn-1=（2n2+2n）-[2（n-1）2+2（n-1）]=4n，
当n=1时，4n=4=a1，
∴an=4n．
∵数列{bn}的前n项和Tn=2-bn，
∴当n=1时，T1=b1=2-b1，解得b1=1．
当n＞1时，Tn=2-bn，Tn-1=2-bn-1，
∴Tn-Tn-1=bn=bn-1-bn，∴2bn=bn-1，
∴
bn
bn-1
=class="stub"1
2
，
∴数列{bn}是以首项为1，公比为class="stub"1
2
的等比数列，
∴bn=(class="stub"1
2
)n-1，n∈N*．
（II）∵cn=
anbn
4
=n•(class="stub"1
2
)n-1，
∴数列{cn}的前n和：
Rn=c1+c2+c3+…+cn
=1•（class="stub"1
2
）0+2×（class="stub"1
2
）1+3×（class="stub"1
2
）2+…+（n-1）•（class="stub"1
2
）n-2+n•（class="stub"1
2
）n-1，①
∴class="stub"1
2
Rn =1•（class="stub"1
2
）1+2×（class="stub"1
2
）2+3×（class="stub"1
2
）3+…+（n-1）•（class="stub"1
2
）n-1+n•（class="stub"1
2
）n，②
①-②，得class="stub"1
2
Rn=1+class="stub"1
2
+（class="stub"1
2
）2+（class="stub"1
2
）3+…+（class="stub"1
2
）n-1-n•（class="stub"1
2
）n
class="stub"1
2
Rn=
1×[1-(class="stub"1
2
)n]
1-class="stub"1
2
-n•（class="stub"1
2
）n
=2-(class="stub"1
2
)n+1-n•（class="stub"1
2
）n，
∴Rn=4-2(n+2)(class="stub"1
2
)n＜4；
（ III）∵cn=an+（-1）nlog2bn
=4n+(-1)nlog2(class="stub"1
2
)n-1
=4n+（-1）n（1-n），
∴数列{cn}的前2n和
R2n=[4×1+（-1）1（1-1）]+[4×2+（-1）2（1-2）]+[4×3+（-1）3（1-3）]+…+[4×2n+（-1）2n（1-2n）]
=4（1+2+3+…+2n）+[0-1+2-3+…+（2n-2）-（2n-1）]
=4×
2n(1+2n)
2
-n
=8n2+3n．
∴R2n=8n2+3n．

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