首页 > 已知各项均为正数的数列{an}满足：a1=3，an+1+ann+1=8an+1-an(n∈N*)，设bn=1an，Sn=b12+b22+…+bn2．（I）求数列{an}的通项公式；（II）求证：Sn＜

已知各项均为正数的数列{an}满足：a1=3，an+1+ann+1=8an+1-an(n∈N*)，设bn=1an，Sn=b12+b22+…+bn2．（I）求数列{an}的通项公式；（II）求证：Sn＜

题目简介

已知各项均为正数的数列{an}满足：a1=3，an+1+ann+1=8an+1-an(n∈N*)，设bn=1an，Sn=b12+b22+…+bn2．（I）求数列{an}的通项公式；（II）求证：Sn＜

题目详情

已知各项均为正数的数列{an}满足：a1=3，
an+1+an
n+1
=
8
an+1-an
(n∈N*)，设bn=
1
an
，Sn=b12+b22+…+bn2．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求证：Sn＜
1
4
．
题型：解答题难度：中档来源：重庆一模

答案

（I）∵
an+1+an
n+1
=class="stub"8
an+1-an
，
∴an+12-an2=8（n+1）
∴an2=（an2-an-12）+（an-12-an-22）+…+（a22-a12）+a12=8[n+（n-1）+…+2]+9=（2n+1）2
∴an=2n+1．…（5分）
（II）
b2n
=class="stub"1
a2n
=class="stub"1
(2n+1)2
＜class="stub"1
4n(n+1)
=class="stub"1
4
(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)∴Sn＜class="stub"1
4
[(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)]=class="stub"1
4
(1-class="stub"1
n+1
)＜class="stub"1
4
…（12分）

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