已知数列{an}的前n项和Sn可用组合数表示为Sn=Cn+33-Cn+23+Cn0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若f(n)为关于n的多项式,且满足limn→∞[Snan-f(n)]=2,求f

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn可用组合数表示为Sn=Cn+33-Cn+23+Cn0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若f(n)为关于n的多项式,且满足limn→∞[Snan-f(n)]=2,求f

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn可用组合数表示为Sn=Cn+33-Cn+23+Cn0
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若f(n)为关于n的多项式,且满足
lim
n→∞
[
Sn
an
-f(n)]=2
,求f(n)的表达式.
题型:解答题难度:中档来源:卢湾区二模

答案

(1)Sn=
C3n+3
-
C3n+2
+
C0n
=
n2+3n+4
2
,(3分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n+1,当n=1时,a1=S1=4,
因此an=
4 n=1
n+1   n≥2.
(7分)
(2)
lim
n→∞
[
Sn
an
-f(n)]=
lim
n→∞
[
n2+3n+4
2(n+1)
-f(n)]=
lim
n→∞
n2+3n+4-2(n+1)f(n)
2(n+1)

(9分)
由题设
lim
n→∞
n2+3n+4-2(n+1)f(n)
2(n+1)
=2
,由于当多项式f(n)中n的最高次数大于或等于2时,极限不存在,
故可设f(n)=an+b,
代入得
lim
n→∞
(1-2a)n2+(3-2b-2a)n+4-2b
2n+2
=2
,即
1-2a=0
class="stub"3-2b-2a
2
=2
(12分)
解得a=class="stub"1
2
,b=-1,因此f(n)=class="stub"1
2
n-1
.                         (14分)

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