已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….(Ⅰ)若a1=1,a2=3,且对任意n∈N*,

题目简介

已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….(Ⅰ)若a1=1,a2=3,且对任意n∈N*,

题目详情

已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….
(Ⅰ)若a1=1,a2=3,且对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列,证明:数列{an}是公比为q的等比数列;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若公比q=2,a1=2,令bn=
2n-1
an
,Tn=b1+b2+…+bn,若Tn<m(m∈Z),求m的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)是等差数列,
所以B(n)-A(n)=C(n)-B(n),即an+1-a1=an+2,亦即an+2-an-1=a2-a1=2.
故数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.
于是an=1+(n-1)×2=2n-1
证明:(Ⅱ)若对于任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列,
则B(n)=qA(n),C(n)=qB(n),
于是C(n)-B(n)=q[B(n)-A(n)],得an+2-a2=q(an+1-a1),
即an+2-qan+1=a2-a1.由n=1有B(1)=qA(1),即a2=qa1,从而an+2-qan+1=0.
因为an>0,所以
an+2
an+1
=
a2
a1
=q
,故数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,
(Ⅲ)由(II)得bn=class="stub"2n-1
2n

Tn=class="stub"1
21
+class="stub"3
22
+class="stub"5
23
+…+class="stub"2n-3
2n-1
+class="stub"2n-1
2n

class="stub"1
2
Tn= class="stub"1
22
+class="stub"3
23
+…+class="stub"2n-5
2n-1
+class="stub"2n-3
2n
+class="stub"2n-1
2n+1

①-②得class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
21
+class="stub"2
22
+class="stub"2
23
+…+class="stub"2
2n-1
+class="stub"2
2n
-class="stub"2n-1
2n+1

=class="stub"1
21
+(class="stub"1
21
+class="stub"1
22
+…+class="stub"1
2n-2
+class="stub"1
2n-1
)-class="stub"2n-1
2n+1
=class="stub"3
2
-class="stub"1
2n-1
-class="stub"2n-1
2n+1

Tn=3-class="stub"1
2n-2
-class="stub"2n-1
2n
=3-class="stub"2n+3
2n

f(n)=class="stub"2n+3
2n
,n∈N*
,则由
f(n+1)
f(n)
=
class="stub"2n+5
2n+1
class="stub"2n+3
2n
=class="stub"2n+5
2(2n+3)
=class="stub"1
2
+class="stub"1
2n+3
≤class="stub"1
2
+class="stub"1
5
<1

f(n)=class="stub"2n+3
2n
,n∈N*
随n的增大而减小
∴当n→+∞时,Tn→3,又Tn<m(m∈Z)恒成立,
∴mmin=3

更多内容推荐