首页 > 已知数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．（1）记bn=an+1-an（n∈N*），求证：数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；（2）

已知数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．（1）记bn=an+1-an（n∈N*），求证：数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；（2）

题目简介

已知数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．（1）记bn=an+1-an（n∈N*），求证：数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；（2）

题目详情

已知数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．
（1）记bn=an+1-an（n∈N*），求证：数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；
（2）求{an}的通项公式；
（3）当q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）时，记An=Cn1a1+Cn2a2+…+Cnnan，求
lim
n→∞
An
2n
的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由an+1=（1+q）an-qan-1得an+1-an=q（an-an-1），即bn=qbn-1（n≥2）（2分）
又a1=1，a2=2，所以b1=a2-a1=1，又q≠0．
所以{bn}是以1为首项，q为公比的等比数列．（4分）bn=qn-1（5分）
注：在证明中若从bn=qbn-1（n≥2）得出{bn}是等比数列扣（1分）．
（2）由bn=an+1-an及bn=qn-1得an+1-an=qn-1（6分）an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1
=qn-2+qn-3+…+q+1+（18分）
当q=1时an=n（9分）
当q≠1时an=
1-qn-1
1-q
+1（10分）
（3）由q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）知an=
1-qn-1
1-q
+1=class="stub"2-q
1-q
+
qn-1
q-1
An=
C1n
a1+
C2n
a2+…+
Cnn
an
=class="stub"2-q
1-q
(
C1n
+
C2n
+…+
Cnn
)+class="stub"1
q-1
(
C1n
q0+
C2n
q1+…+
Cnn
qn-1)

=class="stub"2-q
1-q
(2n-1)+class="stub"1
q(q-1)
[(1+q)n-1]（13分）
An
2n
=class="stub"q-2
q-1
(1-class="stub"1
2n
)+class="stub"1
q(q-1)
[(class="stub"1+q
2
)n-class="stub"1
2n
]
因为q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1），所以-2＜q+1＜2⇒-1＜class="stub"q+1
2
＜1
则
lim
n→∞
(class="stub"1+q
2
)n=0，又
lim
n→∞
class="stub"1
2n
=0
所以
lim
n→∞
An
2n
=
lim
n→∞
{class="stub"q-2
q-1
(1-class="stub"1
2n
)+class="stub"1
q(q-1)
[(class="stub"1+q
2
)n-class="stub"1
2n
]}=class="stub"q-2
q-1
（16分）

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