已知数列{an}的首项为2,点(an,an+1)在函数y=x+2的图象上(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项之和为Sn,求证1S1+1S2+1S3+…+1Sn<1.-数学

题目简介

已知数列{an}的首项为2,点(an,an+1)在函数y=x+2的图象上(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项之和为Sn,求证1S1+1S2+1S3+…+1Sn<1.-数学

题目详情

已知数列{an}的首项为2,点(an,an+1)在函数y=x+2的图象上
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项之和为Sn,求证
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
<1
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)点(an,an+1)在函数y=x+2的图象上,∴an+1=an+2,
∴数列{an}是以首项为2公差为2的等差数列,
∴an=2+2(n-1)=2n;
(2)sn=
(2n+2)n
2
=n(n+1),
class="stub"1
sn
=class="stub"1
n(n+1)
=class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1

class="stub"1
S1
+class="stub"1
S2
+class="stub"1
S3
+…+class="stub"1
Sn
=(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)=1-class="stub"1
n+1
<1

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