首页 > 已知等差数列{an}中a1=1，公差d＞0，前n项和为Sn，且S1，S3-S2，S5-S3成等比数列．（I）求数列{an}的通项公式an及Sn；（Ⅱ）设bn=1Sn(n∈N•)，证明：b1+b2+…+

已知等差数列{an}中a1=1，公差d＞0，前n项和为Sn，且S1，S3-S2，S5-S3成等比数列．（I）求数列{an}的通项公式an及Sn；（Ⅱ）设bn=1Sn(n∈N•)，证明：b1+b2+…+

题目简介

已知等差数列{an}中a1=1，公差d＞0，前n项和为Sn，且S1，S3-S2，S5-S3成等比数列．（I）求数列{an}的通项公式an及Sn；（Ⅱ）设bn=1Sn(n∈N•)，证明：b1+b2+…+

题目详情

已知等差数列{an}中a1=1，公差d＞0，前n项和为Sn，且S1，S3-S2，S5-S3成等比数列．
（I）求数列{an}的通项公式an及Sn；
（Ⅱ）设bn=
1
Sn
(n∈N•)，证明：b1+b2+…+bn＜2．
题型：解答题难度：中档来源：天津一模

答案

（Ⅰ）由题意S1=a1=1，S3-S2=a3=1+2d，S5-S3=a4+a5=2+7d，
∵S1，S3-S2，S5-S3成等比数列，
∴（1+2d）2=1×（2+7d），
解得d=-class="stub"1
4
（舍去）或d=1
∴an=n，
Sn=
n(n+1)
2
．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得bn=class="stub"1
Sn
=class="stub"2
n(n+1)
=2(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)
∴b1+b2+…+bn=2[(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)]=2(1-class="stub"1
n+1
)＜2
即b1+b2+…+bn＜2．

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