首页 > 已知：fn（x）=a1x+a2x2+…+anxn，fn（-1）=（-1）n•n，n=1，2，3，…（I）求a1、a2、a3；（II）求数列{an}的通项公式；（II）求证：fn(13)＜1．-数学

已知：fn（x）=a1x+a2x2+…+anxn，fn（-1）=（-1）n•n，n=1，2，3，…（I）求a1、a2、a3；（II）求数列{an}的通项公式；（II）求证：fn(13)＜1．-数学

题目简介

已知：fn（x）=a1x+a2x2+…+anxn，fn（-1）=（-1）n•n，n=1，2，3，…（I）求a1、a2、a3；（II）求数列{an}的通项公式；（II）求证：fn(13)＜1．-数学

题目详情

已知：fn（x）=a1x+a2x2+…+anxn，fn（-1）=（-1）n•n，n=1，2，3，…
（I）求a1、a2、a3；
（II）求数列{an}的通项公式；
（II）求证：fn(
1
3
)＜1．
题型：解答题难度：中档来源：海淀区二模

答案

由已知f1（-1）=-a1=-1，所以a1=1（1分）
f2（-1）=-a1+a2=2，所以a2=3，
f3（-1）=-a1+a2-a3=-3，所以a3=5（3分）
（II）∵（-1）n+1•an+1=fn+1（-1）-fn（-1）=（-1）n+1•（n+1）-（-1）n•n
∴an+1=（n+1）+n
即an+1=2n+1
所以对于任意的n=1，2，3，an=2n-1（7分）
（III）fn（x）=x+3x2+5x3++（2n-1）xn
∴fn（class="stub"1
3
）=class="stub"1
3
+3（class="stub"1
3
）2+5（class="stub"1
3
）3+…+（2n-1）（class="stub"1
3
）n           ①
class="stub"1
3
fn（class="stub"1
3
）=（class="stub"1
3
）2+3（class="stub"1
3
）3+5（class="stub"1
3
）4+…+（2n-1）（class="stub"1
3
）n+1   ②
①─②，得
class="stub"2
3
fn（class="stub"1
3
）=（class="stub"1
3
）+2（class="stub"1
3
）3+2（class="stub"1
3
）4+…+2（class="stub"1
3
）n-（2n-1）（class="stub"1
3
）n+1 （9分）
=class="stub"1
3
+
class="stub"2
9
[1-(class="stub"1
3
)n-1]
1-class="stub"1
3
-(2n-1)(class="stub"1
3
)n+1=class="stub"2
3
-class="stub"2n-2
3
(class="stub"1
3
)n
∴fn(class="stub"1
3
)=1-class="stub"n-1
3n
，（12分）
又n=1，2，3，故fn(class="stub"1
3
)＜1（13分）

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