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等差数列{an}前n项和为Sn，且S5=45，S6=60．（1）求{an}的通项公式an；（2）若数列{an}满足bn+1-bn=an（n∈N*）且b1=3，求{1bn}的前n项和Tn．-数学

题目简介

等差数列{an}前n项和为Sn，且S5=45，S6=60．（1）求{an}的通项公式an；（2）若数列{an}满足bn+1-bn=an（n∈N*）且b1=3，求{1bn}的前n项和Tn．-数学

题目详情

等差数列{an}前n项和为Sn，且S5=45，S6=60．
（1）求{an}的通项公式an；
（2）若数列{an}满足bn+1-bn=an（n∈N*）且b1=3，求{
1
 bn
}的前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设等差数列{an}的公差为d，∵S5=45，S6=60，∴
5a1+class="stub"5×4
2
d=45
6a1+class="stub"6×5
2
d=60
，解得
a1=5
d=2
．∴an=5+（n-1）×2=2n+3．
（2）∵bn+1-bn=an=2n+1，b1=3，
∴bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1
=[2（n-1）+3]+[2（n-2）+3]+…+（2×1+3）+3
=2×
n(n-1)
2
+3n
=n2+2n．
∴class="stub"1
bn
=class="stub"1
n(n+2)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
)．
∴Tn=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
4
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+…+(class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n+1
)+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
)]
=class="stub"1
2
(1+class="stub"1
2
-class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
)
=class="stub"3
4
-class="stub"1
2(n+1)
-class="stub"1
2(n+2)
．

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