首页 > 在等差数列{an}中，a1=1，a5=9，在数列{bn}中，b1=2，且bn=2bn-1-1，（n≥2）（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设Tn=a1b1-1+a2b2-1+a3b3-1

在等差数列{an}中，a1=1，a5=9，在数列{bn}中，b1=2，且bn=2bn-1-1，（n≥2）（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设Tn=a1b1-1+a2b2-1+a3b3-1

题目简介

在等差数列{an}中，a1=1，a5=9，在数列{bn}中，b1=2，且bn=2bn-1-1，（n≥2）（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设Tn=a1b1-1+a2b2-1+a3b3-1

题目详情

在等差数列{an}中，a1=1，a5=9，在数列{bn}中，b1=2，且bn=2bn-1-1，（n≥2）
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设Tn=
a1
b1-1
+
a2
b2- 1
+
a3
b3-1
+…+
an
bn-1
，求Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由等差数列的通项公式可得，d=
a5-a1
5-1
=2
∴an=1+2（n-1）=2n-1     
 由bn=2bn-1-1可得bn-1=2（bn-1-1）（n≥2）
∴{bn-1}是以b1-1=1为首项，2为公比的等比数列
∴bn-1=2n-1  
  故bn=2n-1+1
（2）Tn=
a1
b1-1
+
a2
b2-1
+…+
an
bn-1
=class="stub"2-1
20
+class="stub"2×2-1
22-1
+…+class="stub"2n-1
2n-1

=1+class="stub"3
2
+class="stub"5
4
+…+class="stub"2n-3
2n-2
+class="stub"2n-1
2n-1
         ①
则 class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
2
+class="stub"3
4
+class="stub"5
8
+…+class="stub"2n-3
2n-1
+class="stub"2n-1
2n
 ②
①-②可得class="stub"1
2
Tn=1+2(class="stub"1
2
+class="stub"1
2 2
+…+class="stub"1
2 n-1
)-class="stub"2n-1
2n

=1+2×
class="stub"1
2
[1-(class="stub"1
2
)n-1]
1-class="stub"1
2
-class="stub"2n-1
2n

=1+2-(class="stub"1
2
)n-2-(2n-1)(class="stub"1
2
)n
=3-(class="stub"1
2
)n[4+(2n-1)]=3-(2n+3)(class="stub"1
2
)n
所以Tn=6-class="stub"2n+3
2n-1

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网