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已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1n(an+3)(n∈N*)，Sn=

题目简介

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1n(an+3)(n∈N*)，Sn=

题目详情

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
1
n(an+3)
(n∈N*)，Sn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn＞
t
36
总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：河北区一模

答案

（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，…（2分）
整理得2a1d=d2．
∵a1=1，解得（d=0舍），d=2．…（4分）
∴an=2n-1（n∈N*）．…（6分）
（2）bn=class="stub"1
n(an+3)
=class="stub"1
2n(n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)，
∴Sn=b1+b2+…+bn=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)]=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
n+1
)=class="stub"n
2(n+1)
．…（10分）
假设存在整数t满足Sn＞class="stub"t
36
总成立．
又Sn+1-Sn=class="stub"n+1
2(n+2)
-class="stub"n
2(n+1)
=class="stub"1
2(n+2)(n+1)
＞0，
∴数列{Sn}是单调递增的． …（12分）
∴S1=class="stub"1
4
为Sn的最小值，故class="stub"t
36
＜class="stub"1
4
，即t＜9．
又∵t∈N*，
∴适合条件的t的最大值为8．…（14分）

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