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已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+12an=1(n∈N+)（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log13(1-Sn+1)(n∈N+)，令Tn=1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+

题目简介

已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+12an=1(n∈N+)（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log13(1-Sn+1)(n∈N+)，令Tn=1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+

题目详情

已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+
1
2
an=1(n∈N+)
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log
1
3
(1-Sn+1)(n∈N+)，令Tn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
，求Tn．
题型：解答题难度：中档来源：滨州一模

答案

（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，由S1+class="stub"1
2
a1=a1+class="stub"1
2
a1=1，得：a1=class="stub"2
3
．
当n≥2时，Sn=1-class="stub"1
2
an，Sn-1=1-class="stub"1
2
an-1．
则Sn-Sn-1=class="stub"1
2
(an-1-an)，即an=class="stub"1
2
(an-1-an)，
所以an=class="stub"1
3
an-1(n≥2)．
∵a1=class="stub"2
3
≠0，∴
an
an-1
=class="stub"1
3
．
故数列{an}是以class="stub"2
3
为首项，class="stub"1
3
为公比的等比数列．
故an=a1qn-1=class="stub"2
3
•(class="stub"1
3
)n-1=2•(class="stub"1
3
)n（n∈N*）．
（Ⅱ）∵Sn+class="stub"1
2
an=1，∴1-Sn=class="stub"1
2
an．
∴bn=logclass="stub"1
3
(1-Sn+1)=logclass="stub"1
3
(class="stub"1
3
)n+1=n+1．
∴class="stub"1
bnbn+1
=class="stub"1
(n+1)(n+2)
=class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
．
所以，Tn=class="stub"1
b1b2
+class="stub"1
b2b3
+…+class="stub"1
bnbn+1
=(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
4
)+…+(class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
)=class="stub"1
2
-class="stub"1
n+2
=class="stub"n
2(n+2)
．

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