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已知定点F（1，0），F′（-1，0），动点P满足|PF|，22|FF′|，|PF′|成等差数列（1）求动点P的轨迹E的方程（2）过点F（1，0）且与x轴不重合的直线l与E交于M、N两点，以MN为对角

题目简介

已知定点F（1，0），F′（-1，0），动点P满足|PF|，22|FF′|，|PF′|成等差数列（1）求动点P的轨迹E的方程（2）过点F（1，0）且与x轴不重合的直线l与E交于M、N两点，以MN为对角

题目详情

已知定点F（1，0），F′（-1，0），动点P满足|
PF
|，
2
2
|
FF′
|，|PF′|成等差数列
（1）求动点P的轨迹E的方程
（2）过点F（1，0）且与x轴不重合的直线l与E交于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意可得：|
PF
|+|
PF′
|=2•
2
2
|
FF′
|=2
2
＞|
FF′
|，
由椭圆的定义可得：动点P的轨迹E是椭圆，且a=
2
，c=1，∴b2=a2-c2=1，
∴动点P的轨迹E的方程为
x2
2
+y2=1．
（2）①当直线l与x轴垂直时，l：x=1．
此时M(1，
2
2
)，N(1，-
2
2
)，以MN为对角线的正方向的另外两个顶点为(1±
2
2
，0)，不合题意；
②当直线l与x轴既不垂直也不重合时，设l：y=k（x-1）（k≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立
x2
2
+y2=1
y=k(x-1)
，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，
∴x1+x2=
4k2
2k2+1
，x1x2=
2k2-2
2k2+1
．
∴MN的中点坐标为(
2k2
2k2+1
，class="stub"-k
2k2+1
)．
则线段MN的中垂线m的方程为y+class="stub"k
2k2+1
=-class="stub"1
k
(x-
2k2
2k2+1
)，
即m：y=-class="stub"x
k
+class="stub"k
2k2+1
，
则直线m与y轴的交点为Q(0，class="stub"k
2k2+1
)，
而以MN为对角线的正方形的第三个顶点Q恰在y轴上，
∴QM⊥QN，即
QM
•
QN
=(x1，y1-class="stub"k
2k2+1
)•(x2，y2-class="stub"k
2k2+1
)=0，
整理得x1x2+y1y2-class="stub"k
2k2+1
（y1+y2）+
k2
(2k2+1)2
=0，（*）
由
y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-
k2
2k2+1
y1+y2=k(x1+x2-2)=-class="stub"2k
2k2+1

代入（*）解得k=±1．
故所求直线方程为x+y-1=0或x-y-1=0．

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