已知等差数列{an},其中a1=25,a4=16,(1)求{an}的通项公式;(2)求{an}的前n项和Sn,并求Sn的最大值.-数学

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已知等差数列{an},其中a1=25,a4=16,(1)求{an}的通项公式;(2)求{an}的前n项和Sn,并求Sn的最大值.-数学

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已知等差数列{an},其中a1=25,a4=16,
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{an}的前n项和Sn,并求Sn的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵a4-a1=3d=-9,∴d=-3an=a1+(n-1)d=25-3(n-1)=28-3n
(2)Sn=na1+
n(n-1)
2
d=25n+
n(n-1)
2
×(-3)=-
3n2
2
+class="stub"53n
2

n=-class="stub"b
2a
=-
class="stub"53
2
2×(-class="stub"3
2
)
=class="stub"53
6
时,Sn取到最大值,但n∈N*,所以取 n=9.
此时Sn的最大值为S9=-
3n2
2
+class="stub"53n
2
=-class="stub"3×81
2
+class="stub"53×9
2
=117

另由(1)知数列{an}是递减数列,要使前n项和Sn取最大值,只需满足
an≥0
an+1<0
即 
28-3n≥≥0
28-3(n+1)<0
解得 8class="stub"1
3
<n≤9class="stub"1
3
,又n∈N*
∴n=9,即前9项和最大.
这时 S9=9a1+class="stub"9×8
2
d=9×25+class="stub"9×8
2
×(-3)
=117

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