已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n.数列{bn}中,b1=1,bn=abn-1(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若存在常数t使数列{bn+t}是等比数列,求数列{bn

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n.数列{bn}中,b1=1,bn=abn-1(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若存在常数t使数列{bn+t}是等比数列,求数列{bn

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n.数列{bn}中,b1=1,bn=abn-1(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若存在常数t使数列{bn+t}是等比数列,求数列{bn}的通项公式;
(3)求证:①bn+1>2bn;②
1
b1
+
1
b2
+
1
b3
+…+
1
bn
<2-
1
bn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)n=1时,a1=S1=3,n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-(n-1)2-2(n-1)=2n+1,
且n=1时也适合此式,故数列{an}的通项公式是an=2n+1;
(2)依题意,n≥2时,bn=abn-1=2bn-1+1
∴bn+1=2(bn-1+1),又b1+1=2,
∴{bn+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,
即存在常数t=2使数列{bn+t}是等比数列bn+1=2•2n-1=2n,即bn=2n-1.
(3)①bn+1-2bn=(2n+1-1)-2(2n-1)=1>0所以bn+1>2bn对一切自然数n都成立.
②由bn+1>2bn得class="stub"1
bn+1
<class="stub"1
2bn
,设S=class="stub"1
b1
+class="stub"1
b2
+class="stub"1
b3
++class="stub"1
bn

则S<class="stub"1
b1
+class="stub"1
2b1
+class="stub"1
2b2
+…+class="stub"1
2bn-1
=class="stub"1
b1
+class="stub"1
2
(S-class="stub"1
2bn
)
,所以S<class="stub"2
b1
-class="stub"1
bn
=2-class="stub"1
bn

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