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> 已知定义在R的函数f(x)=-2x+a2x+1+b(a,b为实常数).(Ⅰ)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;(Ⅱ)设f(x)是奇函数,求a与b的值;(Ⅲ)当f(x)是奇函数时,证明对任何实数
已知定义在R的函数f(x)=-2x+a2x+1+b(a,b为实常数).(Ⅰ)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;(Ⅱ)设f(x)是奇函数,求a与b的值;(Ⅲ)当f(x)是奇函数时,证明对任何实数
题目简介
已知定义在R的函数f(x)=-2x+a2x+1+b(a,b为实常数).(Ⅰ)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;(Ⅱ)设f(x)是奇函数,求a与b的值;(Ⅲ)当f(x)是奇函数时,证明对任何实数
题目详情
已知定义在R的函数
f(x)=
-
2
x
+a
2
x+1
+b
(a,b为实常数).
(Ⅰ)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;
(Ⅱ)设f(x)是奇函数,求a与b的值;
(Ⅲ)当f(x)是奇函数时,证明对任何实数x、c都有f(x)<c
2
-3c+3成立.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)
f(x)=
-
2
x
+1
2
x+1
+1
,
f(1)=
class="stub"-2+1
2
2
+1
=-
class="stub"1
5
,
f(-1)=
-
class="stub"1
2
+1
2
=
class="stub"1
4
,
所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数;(2分)
(Ⅱ)f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),
即
-
2
-x
+a
2
-x+1
+b
=-
-
2
x
+a
2
x+1
+b
对任意x∈R恒成立.(4分)
化简整理得(2a-b)•22x+(2ab-4)•2x+(2a-b)=0对任意x∈R恒成立.(6分)
∴
2a-b=0
2ab-4=0
,∴
a=-1
b=-2
(舍)或
a=1
b=2
,∴
a=1
b=2
.(8分)
另∵f(x)是定义在R的奇函数,∴
f(0)=0
f(-1)+f(1)=0
,,
∴
a=1
b=2
,验证满足,∴
a=1
b=2
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:
f(x)=
-
2
x
+1
2
x+1
+2
=-
class="stub"1
2
+
class="stub"1
2
x
+1
,
∵2x>0,∴2x+1>1,
∴
0<
class="stub"1
2
x
+1
<1
,从而
-
class="stub"1
2
<f(x)<
class="stub"1
2
;(12分)
而
c
2
-3c+3=(c-
class="stub"3
2
)
2
+
class="stub"3
4
≥
class="stub"3
4
>
class="stub"1
2
对任何实数c成立;
所以对任何实数x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.(14分)
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题目简介
已知定义在R的函数f(x)=-2x+a2x+1+b(a,b为实常数).(Ⅰ)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;(Ⅱ)设f(x)是奇函数,求a与b的值;(Ⅲ)当f(x)是奇函数时,证明对任何实数
题目详情
(Ⅰ)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;
(Ⅱ)设f(x)是奇函数,求a与b的值;
(Ⅲ)当f(x)是奇函数时,证明对任何实数x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.
答案
所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数;(2分)
(Ⅱ)f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),
即
化简整理得(2a-b)•22x+(2ab-4)•2x+(2a-b)=0对任意x∈R恒成立.(6分)
∴
另∵f(x)是定义在R的奇函数,∴
∴
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:f(x)=
∵2x>0,∴2x+1>1,
∴0<
而c2-3c+3=(c-
所以对任何实数x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.(14分)