过原点向曲线y=x3+2x2+a可作三条切线,则实数a的取值范围是______.-数学

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过原点向曲线y=x3+2x2+a可作三条切线,则实数a的取值范围是______.-数学

题目详情

过原点向曲线y=x3+2x2+a可作三条切线,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:偏易来源:不详

答案

设切点坐标为(x0,x03+2x02+a),而切线的斜率k=y′=3x02+4x0,
所以切线方程为:y-(x03+2x02+a)=(3x02+4x0)(x-x0),
把原点(0,0)代入得:2x03+2x02-a,
所以过原点向曲线y=x3+2x2+a可作三条切线,方程2x03+2x02-a=0有三个不同的实数解,
设h(x)=2x3+2x2-a,所以令h′(x)=6x2+4x=2x(3x+2)=0,解得x=0或x=-class="stub"2
3

则x,h′(x),h(x)的变化如下图:
x(-∞,-class="stub"2
3
-class="stub"2
3
(-class="stub"2
3
,0)
0(0,+∞)
h'(x)+0-0+
h(x)极大值极小值
根据图形可知:h(x)极大值=h(-class="stub"2
3
)=class="stub"8
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-a,h(x)极小值=h(0)=-a,
根据题意
h(-class="stub"2
3
)>0
h(0)<0
,即
class="stub"8
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-a>0
-a<0
,解得:0<a<class="stub"8
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则实数a的取值范围是(0,class="stub"8
27
).
故答案为:(0,class="stub"8
27

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