已知函数（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1∈（0，2），总存在x2∈[1，2]使f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围．-高三数学

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已知函数
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x₁∈（0，2），总存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂），求实数m的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：模拟题

答案

解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）， = ，
由f′（x）＞0得，1＜x＜3，
由f′（x）＜0得，0＜x＜1或x＞3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，3）；
单调递减区间为（0，1），（3，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在区间（0，1）上递减，在区间（1，2）上递增，
∴函数f（x）在区间（0，2）上的最小值为f（1）= ，
由于“对任意x1∈（0，2），总存在x2∈[1，2]使f（x1）≥g（x2）”
等价于“g（x）在区间[1，2]上的最小值不大于f（x）在区间（0，2）上的最小值 ”
即g（x）min≤ ，（*）
又g（x）=x2﹣2mx+4，x∈[1，2]，
∴①当m＜1时，g（x）min=g（1）=5﹣2m＞0与（*）式矛盾，
②当m∈[1，2]时，g（x）min=4﹣m2≥0，与（*）式矛盾，
③当m＞2时，g（x）min=g（2）=8﹣4m≤ ，解得m ，
综上知，实数m的取值范围是[ ）．

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已知函数（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1∈（0，2），总存在x2∈[1，2]使f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围．-高三数学

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