已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间;(3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f

题目简介

已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间;(3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f

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已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1+2x1<f(x2)+2x2)恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当a=1时,f(x)=x2-3x+lnx,f′(x)=2x-3+class="stub"1
x

因为f′(1)=0,f(1)=-2,所以切线方程是y=-2;
(2)函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx的定义域是(0,+∞),
f′(x)=2ax-(a+2)+class="stub"1
x
=
2ax2-(a+2)x-1
x
(x>0),
令f′(x)=0,即f′(x)=
2ax2-(a+2)x-1
x
=
(2x-1)(ax-1)
x
=0,
所以x=class="stub"1
2
或x=class="stub"1
a

①当a>2时,令f′(x)>0得,x>class="stub"1
2
或0<x<class="stub"1
a
,f′(x)<0得class="stub"1
a
x<class="stub"1
2

②当a=2时,f′(x)≥0恒成立,
③当0<a<2时,令f′(x)>0得,x>class="stub"1
a
或0<x<class="stub"1
2
,f′(x)<0得class="stub"1
2
<x<class="stub"1
a

④a<0时,令f′(x)>0得0<x<class="stub"1
2
,f′(x)<0得x>class="stub"1
2

所以当a>2时,f(x)的单调增区间为(0,class="stub"1
a
),(class="stub"1
2
,+∞)单调减区间为(class="stub"1
a
,class="stub"1
2
);
当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当0<a<2时,f(x)在(0,class="stub"1
2
),(class="stub"1
a
,+∞)上单调递增,在(class="stub"1
2
,class="stub"1
a
)上单调递减;
当a≤0时,f(x)在(0,class="stub"1
2
)上单调递增,(class="stub"1
2
,+∞
)上单调递减.
(3)设g(x)=f(x)+2x,则g(x)=ax2-ax+lnx,
只要g(x)在(0,+∞)上单调递增即可,
而g′(x)=2ax-a+class="stub"1
x
=
2ax2-ax+1
x

当a=0时,g′(x)=class="stub"1
x
>0,此时g(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a≠0时,只需g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
因为x∈(0,+∞),只要2ax2-ax+1≥0,
则需要a>0,
对于函数y=2ax2-ax+1,过定点(0,1),对称轴x=class="stub"1
4
>0,只需△=a2-8a≤0,即0<a≤8,
综上,0≤a≤8.

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