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> 已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间;(3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间;(3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f
题目简介
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间;(3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f
题目详情
已知函数f(x)=ax
2
-(a+2)x+lnx
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若对任意x
1
,x
2
∈(0,+∞),x
1
<x
2
,且f(x
1
+2x
1
<f(x
2
)+2x
2
)恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)当a=1时,f(x)=x2-3x+lnx,f′(x)=2x-3+
class="stub"1
x
,
因为f′(1)=0,f(1)=-2,所以切线方程是y=-2;
(2)函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx的定义域是(0,+∞),
f′(x)=2ax-(a+2)+
class="stub"1
x
=
2a
x
2
-(a+2)x-1
x
(x>0),
令f′(x)=0,即f′(x)=
2a
x
2
-(a+2)x-1
x
=
(2x-1)(ax-1)
x
=0,
所以x=
class="stub"1
2
或x=
class="stub"1
a
,
①当a>2时,令f′(x)>0得,x>
class="stub"1
2
或0<x<
class="stub"1
a
,f′(x)<0得
class="stub"1
a
<
x<
class="stub"1
2
,
②当a=2时,f′(x)≥0恒成立,
③当0<a<2时,令f′(x)>0得,x>
class="stub"1
a
或0<x<
class="stub"1
2
,f′(x)<0得
class="stub"1
2
<x<
class="stub"1
a
,
④a<0时,令f′(x)>0得0<x<
class="stub"1
2
,f′(x)<0得x>
class="stub"1
2
,
所以当a>2时,f(x)的单调增区间为(0,
class="stub"1
a
),(
class="stub"1
2
,+∞)单调减区间为(
class="stub"1
a
,
class="stub"1
2
);
当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当0<a<2时,f(x)在(0,
class="stub"1
2
),(
class="stub"1
a
,+∞)上单调递增,在(
class="stub"1
2
,
class="stub"1
a
)上单调递减;
当a≤0时,f(x)在(0,
class="stub"1
2
)上单调递增,(
class="stub"1
2
,+∞
)上单调递减.
(3)设g(x)=f(x)+2x,则g(x)=ax2-ax+lnx,
只要g(x)在(0,+∞)上单调递增即可,
而g′(x)=2ax-a+
class="stub"1
x
=
2a
x
2
-ax+1
x
,
当a=0时,g′(x)=
class="stub"1
x
>0,此时g(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a≠0时,只需g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
因为x∈(0,+∞),只要2ax2-ax+1≥0,
则需要a>0,
对于函数y=2ax2-ax+1,过定点(0,1),对称轴x=
class="stub"1
4
>0,只需△=a2-8a≤0,即0<a≤8,
综上,0≤a≤8.
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已知函数f(x)=xlnmx(m>0),g(x)=﹣x2+2ax﹣3
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答案
因为f′(1)=0,f(1)=-2,所以切线方程是y=-2;
(2)函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx的定义域是(0,+∞),
f′(x)=2ax-(a+2)+
令f′(x)=0,即f′(x)=
所以x=
①当a>2时,令f′(x)>0得,x>
②当a=2时,f′(x)≥0恒成立,
③当0<a<2时,令f′(x)>0得,x>
④a<0时,令f′(x)>0得0<x<
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而g′(x)=2ax-a+
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