数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；（II）求{an}的通项公式．（III）由数列{an}中的第1

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数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（I）求c的值；
（II）求{a_n}的通项公式．
（III）由数列{a_n}中的第1、3、9、27、…项构成一个新的数列{b_n}，求

lim

n→∞

bn+1

的值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1，a2，a3成等比数列，
所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0或c=2．
当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=2．
（II）当n≥2时，由于a2-a1=c，a3-a2=2c，…an-an-1=（n-1）c，
所以an-a1=[1+2++(n-1)]c=

n(n-1)

c．
又a1=2，c=2，故an=2+n（n-1）=n2-n+2（n=2，3，）．
当n=1时，上式也成立，所以an=n2-n+2（n=1，2，）
（III）bn=32n-2-3n-1+2，
∴

lim

n→∞

bn+1

=9．

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数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；（II）求{an}的通项公式．（III）由数列{an}中的第1

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