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> 设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(O为坐标原点),点P到定点M(0,12)的距离比点P到x轴的距离大12.(1)求点P的轨迹方程;(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相
设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(O为坐标原点),点P到定点M(0,12)的距离比点P到x轴的距离大12.(1)求点P的轨迹方程;(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相
题目简介
设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(O为坐标原点),点P到定点M(0,12)的距离比点P到x轴的距离大12.(1)求点P的轨迹方程;(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相
题目详情
设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(O为坐标原点),点P到定点
M(0,
1
2
)
的距离比点P到x轴的距离大
1
2
.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点,且
|AB|=2
6
,求k的值;
(3)设点P的轨迹曲线为C,点Q(x
0
,y
0
)(x
0
≤1)是曲线C上的一点,求以点Q为切点的曲线C的切线方程及切线倾斜角的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)过P作x轴垂线且垂足为N,由题意可知
|PM|-|PN|=
class="stub"1
2
而y≥0,∴|PN|=y,∴
x
2
+
(y-
class="stub"1
2
)
2
=y+
class="stub"1
2
化简得x2=2y(y≥0)为所求的方程.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
y=kx+1
x
2
=2y
,
得x2-2kx-2=0,
∴x1+x2=2k,
x1x2=-2
|AB|=
1+
k
2
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
=
1+
k
2
4
k
2
+8
=2
6
,
∴k4+3k2-4=0,
而k2≥0,
∴k2=1,
∴k=±1.
(3)因为Q(x0,y0)在曲线C上,
∴x02=2y0,
∴切点
Q(
x
0
,
class="stub"1
2
x
20
)
.
又
y=
class="stub"1
2
x
2
求导得y'=x,
∴切线斜率k=x0
则切线方程为
y-
class="stub"1
2
x
20
=
x
0
(x-
x
0
)
,
即2x0x-2y-x02=0为所求切线方程,
又x0≤1,
∴切线斜率k≤1,
∴倾斜角取值范围为
[0,
class="stub"π
4
]∪(
class="stub"π
2
,π)
.
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设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(O为坐标原点),点P到定点M(0,12)的距离比点P到x轴的距离大12.(1)求点P的轨迹方程;(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相
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(1)求点P的轨迹方程;
(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点,且|AB|=2
(3)设点P的轨迹曲线为C,点Q(x0,y0)(x0≤1)是曲线C上的一点,求以点Q为切点的曲线C的切线方程及切线倾斜角的取值范围.
答案
而y≥0,∴|PN|=y,∴
化简得x2=2y(y≥0)为所求的方程.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
得x2-2kx-2=0,
∴x1+x2=2k,
x1x2=-2|AB|=
∴k4+3k2-4=0,
而k2≥0,
∴k2=1,
∴k=±1.
(3)因为Q(x0,y0)在曲线C上,
∴x02=2y0,
∴切点Q(x0,
又y=
∴切线斜率k=x0
则切线方程为y-
即2x0x-2y-x02=0为所求切线方程,
又x0≤1,
∴切线斜率k≤1,
∴倾斜角取值范围为[0,