已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3，(Ⅰ)设a=1，求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若a＞，且当x∈[1，4a]时，|f′(x)|≤12a恒成立，试确定a的取值范围。-高三数学

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已知函数f(x)=x³-3ax²-9a²x+a³，
(Ⅰ)设a=1，求函数f(x)的极值；
(Ⅱ)若a＞，且当x∈[1，4a]时，|f′(x)|≤12a恒成立，试确定a的取值范围。

题型：解答题难度：中档来源：专项题

答案

解：(Ⅰ)当a=1时，对函数f(x)求导数，得f′(x)=3x2-6x-9，
令f′(x)=0，解得x1=-1，x2=3，
列表讨论f(x)，f′(x)的变化情况：

所以，f(x)的极大值是f(-1)=6，极小值是f(3)=-26；
(Ⅱ)f′(x)=3x2-6ax-9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称，
若，则f′(x)在[1，4a]上是增函数，
从而f′(x)在[1，4a]上的最小值是f ′(1)=3-6a-9a2，最大值是f′(4a)=15a2，
由|f′(x)|≤12a，得-12a≤3x2-6ax-9a2≤12a，
于是有f′(1)=3-6a-9a2≥-12a，且f′(4a)=15a2≤12a，
由f′(1)≥-12a，得，
由f′(4a)≤12a，得，
所以，即；
若a＞1，则|f′(a)|=12a2＞12a，
故当x∈[1，4a]时，|f′(x)|≤12a不恒成立，
所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1，4a])恒成立的a的取值范围是。

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已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3，(Ⅰ)设a=1，求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若a＞，且当x∈[1，4a]时，|f′(x)|≤12a恒成立，试确定a的取值范围。-高三数学

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