已知函数f(x)=asinx-x+b(a、b均为正的常数).(1)求证函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点;(2)设函数f(x)在处有极值①对于一切,不等式f(x)>sinx+cosx总成立,

题目简介

已知函数f(x)=asinx-x+b(a、b均为正的常数).(1)求证函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点;(2)设函数f(x)在处有极值①对于一切,不等式f(x)>sinx+cosx总成立,

题目详情

已知函数f(x)=asinx-x+b(a、b均为正的常数).
(1)求证函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点;
(2)设函数f(x)在处有极值
①对于一切,不等式f(x)>sinx+cosx总成立,求b的取值范围;
②若函数f(x)在区间(上单调递增,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:四川省月考题

答案

(1)证明:∵函数f(x)=asinx﹣x+b,a、b均为正的常数
∴f(0)=b>0,f(a+b)=asin(a+b)﹣a﹣b+b=a[sin(a+b)﹣1]≤0
∴函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点;
(2)f′(x)=acosx﹣1,∵函数f(x)在处有极值,
∴f′()=acos﹣1=0,
∴a=2
∴f(x)=asinx﹣x+b=2sinx﹣x+b
①不等式f(x)>sinx+cosx等价于b>cosx﹣sinx+x对于一切总成立
设g(x)=cosx﹣sinx+x,
∴g′(x)=﹣sinx﹣cosx+1=
,∴

∴g′(x)≥0
∴g(x)=cosx﹣sinx+x在上是单调增函数,且最大值为﹣1+
欲使b>cosx﹣sinx+x对于一切总成立,只需要b>﹣1+即可
②由f′(x)=2cosx﹣1>0,可得x∈(k∈Z)
∴函数f(x)单调递增区间为(k∈Z)
∵函数f(x)在区间(上单调递增

∴6k≤m≤1+3k,且m>0
∵6k≤1+3k,1+3k>0(k∈Z),
<k≤0
∴k=0,0≤m≤1
即实数m的取值范围为[0,1].

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