已知函数f(x)=alnxx+1+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>lnxx-1.-数学

题目简介

已知函数f(x)=alnxx+1+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>lnxx-1.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
alnx
x+1
+
b
x
,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>
lnx
x-1
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)f′(x)=
a(class="stub"x+1
x
- lnx)
(x+1)2
-class="stub"b
x2

由于直线x+2y-3=0的斜率为-class="stub"1
2
,且过点(1,1)
所以
b=1
class="stub"a
2
-b
=-class="stub"1
2

解得a=1,b=1
(II)由(I)知f(x)=class="stub"lnx
x+1
+class="stub"1
x

所以f(x)-class="stub"lnx
x-1
=class="stub"1
1-x2
(2lnx-
x2-1
x
)

考虑函数h(x)=2lnx-
x2-1
x
(x>0)

h′(x)=class="stub"2
x
-
2x2-(x2-1)
x2
=-
(x-1)2
x2

所以当x≠1时,h′(x)<0而h(1)=0,
当x∈(0,1)时,h(x)>0可得class="stub"1
1-x2
h(x)>0

x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得class="stub"1
1-x2
h(x)>0

从而当x>0且x≠1时,
f(x)-class="stub"lnx
x-1
>0即f(x)>class="stub"lnx
x-1

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