首页 > 已知a∈R，设函数f(x)=13x3-a+12x2+ax．（I）若a=2，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（II）求函数f（x）在区间[2，3]上的最大值．-数学

已知a∈R，设函数f(x)=13x3-a+12x2+ax．（I）若a=2，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（II）求函数f（x）在区间[2，3]上的最大值．-数学

题目简介

已知a∈R，设函数f(x)=13x3-a+12x2+ax．（I）若a=2，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（II）求函数f（x）在区间[2，3]上的最大值．-数学

题目详情

已知a∈R，设函数f(x)=
1
3
x3-
a+1
2
x2+ax．
（ I） 若a=2，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（ II）求函数f（x）在区间[2，3]上的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（ I）a=2时，f(x)=class="stub"1
3
x3-class="stub"3
2
x2+2x，所以f′（x）=x2-3x+2
所以f′（3）=2，而f(3)=class="stub"3
2
，所以切线方程为y-class="stub"3
2
=2(x-3)
即y=2x-class="stub"9
2
（一般式：4x-2y-9=0）
（ II）f′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）
当a＜1时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，故f（x）max=f(3)=class="stub"9
2
-class="stub"3
2
a
当a=1时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，故f（x）max=f(3)=class="stub"9
2
-class="stub"3
2
a
当a＞1时，
①1＜a≤2时，在[2，3]上f′（x）＞0，即f（x）在区间[2，3]上单调递增，故f（x）max=f(3)=class="stub"9
2
-class="stub"3
2
a
②2＜a＜3时，在[2，a）上f′（x）＜0，在（a，3]上f′（x）＞0，故f（x）max=max{f（2），f（3）}，而f(2)=class="stub"2
3
，f(3)=class="stub"9
2
-class="stub"3
2
a，
所以当2＜a＜class="stub"23
9
时，f（3）＞f（2），故f（x）max=f(3)=class="stub"9
2
-class="stub"3
2
a
当class="stub"23
9
≤a＜3时，f（3）＜f（2），故f（x）max=f(2)=class="stub"2
3

③a≥3时，在[2，3]上f′（x）≤0，即f（x）在区间[2，3]上单调递减，
故f（x）max=f(2)=class="stub"2
3

综上所述：f(x)max=
class="stub"9
2
-class="stub"3
2
a(a≤class="stub"23
9
)
class="stub"2
3
(a＞class="stub"23
9
)

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