设f(x)是x的三次多项式,已知limx→2a=f(x)x-2a=limx→4af(x)x-4a=1.试求limx→3af(x)x-3a的值(a为非零常数).-数学

题目简介

设f(x)是x的三次多项式,已知limx→2a=f(x)x-2a=limx→4af(x)x-4a=1.试求limx→3af(x)x-3a的值(a为非零常数).-数学

题目详情

设f(x)是x的三次多项式,已知
lim
x→2a
=
f(x)
x-2a
=
lim
x→4a
f(x)
x-4a
=1.试求
lim
x→3a
f(x)
x-3a
的值(a为非零常数).
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

由于
lim
x→2a
f(x)
x-2a
=1,可知f(2a)=0.①
同理f(4a)=0.②
由①②,可知f(x)必含有(x-2a)与(x-4a)的因式,
由于f(x)是x的三次多项式,故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C).
这里A、C均为待定的常数.
lim
x→2a
f(x)
x-2a
=1,即
lim
x→2a
A(x-2a)(x-4a)(x-C)
x-2a

=
lim
x→2a
A(x-4a)(x-C)=1,
得A(2a-4a)(2a-C)=1,
即4a2A-2aCA=-1.③
同理,由于
lim
x→4a
f(x)
x-4a
=1,
得A(4a-2a)(4a-C)=1,
即8a2A-2aCA=1.④
由③④得C=3a,A=class="stub"1
2
a

因而f(x)=class="stub"1
2a2
(x-2a)(x-4a)(x-3a).
lim
x→3a
f(x)
x-3a
=
lim
x→3a
class="stub"1
2a2
(x-2a)(x-4a)
=class="stub"1
2a2
•a•(-a)=-class="stub"1
2

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