已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β）证明：．-高三数学

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已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax²，x＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β）证明：．

题型：解答题难度：中档来源：湖南省月考题

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（I）解：，
令f′（x）=0，解得x=，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：所以，f（x）的单调递增区间是的单调递减区间是．
（II）证明：由f（α）=f（β）及（I）的结论知，
从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．
又由β﹣α≥1，α，β∈[1，3]，
知1≤α≤2≤β≤3．
故，即
从而，

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已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β）证明：．-高三数学

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