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已知a＞0，数列{an}满足a1=a，an+1=a+1an，n=1，2，….（I）已知数列{an}极限存在且大于零，求A=limn→∞an（将A用a表示）；（II）设bn=an-A，n=1，2，…，证

题目简介

已知a＞0，数列{an}满足a1=a，an+1=a+1an，n=1，2，….（I）已知数列{an}极限存在且大于零，求A=limn→∞an（将A用a表示）；（II）设bn=an-A，n=1，2，…，证

题目详情

已知a＞0，数列{an}满足a1=a，an+1=a+
1
an
，n=1，2，….
（I）已知数列{an}极限存在且大于零，求A=
lim
n→∞
an（将A用a表示）；
（II）设bn=an-A，n=1，2，…，证明：bn+1=-
bn
A(bn+A)
；
（III）若|bn|≤
1
2n
对n=1，2，…都成立，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：湖北

答案

（I）由
lim
n→∞
an存在，且A=
lim
n→∞
an(A＞0)，对an+1=a+class="stub"1
an
两边取极限得A=a+class="stub"1
A
，解得A=
a±
a2+4
2
．又A＞0，∴A=
a+
a2+4
2
.
（II）由an=bn+A，an+1=a+class="stub"1
an
得bn+1+A=a+class="stub"1
bn+A
.∴bn+1=a-A+class="stub"1
bn+A
=-class="stub"1
A
+class="stub"1
bn+A
=-
bn
A(bn+A)
.
即bn+1=-
bn
A(
b n
+A)
对n=1，2，都成立
（III）令|b1|≤class="stub"1
2
，得|a-class="stub"1
2
(a+
a2+4
)|≤class="stub"1
2
.
∴|class="stub"1
2
(
a2+4
-a)|≤class="stub"1
2
.
∴
a2+4
-a≤1，解得a≥class="stub"3
2
.
现证明当a≥class="stub"3
2
时，|bn|≤class="stub"1
2n
对n=1，2，都成立.
（i）当n=1时结论成立（已验证）．
（ii）假设当n=k(k≥1)时结论成立，即|bk|≤class="stub"1
2k
，那么|bk+1|=
|bk|
|A(bk+A)|
≤class="stub"1
A|bk+A|
×class="stub"1
2k

故只须证明class="stub"1
A|bk+A|
≤class="stub"1
2
，即证A|bk+A|≥2对a≥class="stub"3
2
成立.
由于A=
a+
a2+4
2
=class="stub"2
a2+4
-a
，
而当a≥class="stub"3
2
时，
a2+4
-a≤1，∴A≥2.
∴|bk+A|≥A-|bk|≥2-class="stub"1
2k
≥1，即A|bk+A|≥2.
故当a≥class="stub"3
2
时，|bk+1|≤class="stub"1
2
×class="stub"1
2k
=class="stub"1
2k+1
.
即n=k+1时结论成立．
根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立．
故|bn|≤class="stub"1
2n
对n=1，2，都成立的a的取值范围为[class="stub"3
2
，+∞).

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