如图,过点(0,a3)的两直线与抛物线y=-ax2相切于A、B两点,AD、BC垂直于直线y=-8,垂足分别为D、C.(1)若a=1,求矩形ABCD面积;(2)若a∈(0,2),求矩形ABCD面积的最大

题目简介

如图,过点(0,a3)的两直线与抛物线y=-ax2相切于A、B两点,AD、BC垂直于直线y=-8,垂足分别为D、C.(1)若a=1,求矩形ABCD面积;(2)若a∈(0,2),求矩形ABCD面积的最大

题目详情

如图,过点(0,a3)的两直线与抛物线y=-ax2相切于A、B两点,AD、BC垂直于直线y=-8,垂足分别为D、C.
(1)若a=1,求矩形ABCD面积;
(2)若a∈(0,2),求矩形ABCD面积的最大值.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设切点为(x0,y0),则y0=-ax02
因为y'=-2ax,所以切线方程为y-y0=-2ax0(x-x0),即y+ax02=-2ax0(x-x0)
因为切线过点(0,a3),所以a3+ax02=-2ax0(0-x0),即a3=ax02,于是x0=±a.
将x0=±a代入y0=-ax02y0=-a3
所以AB=2a,BC=8-a3,所以矩形ABCD面积为S=16a-2a4,
当a=1时,矩形ABCD的面积S=16×1-2×14=14;
(2)由(1)得:矩形ABCD面积为S=16a-2a4(0<a<2),
则S'=16-8a3=8(2-a3).
所以当0<a<
32
时,S'>0;当
32
<a<2
时,S'<0;
故当a=
32
时,S有最大值为S=16×
32
-2×(
32
)4
=12
32

更多内容推荐