如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为2r,短半轴长为r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,记CD=2x,梯形面积为S。(1)求面积-高三数学

题目简介

如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为2r,短半轴长为r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,记CD=2x,梯形面积为S。(1)求面积-高三数学

题目详情

如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为2r,短半轴长为r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,记CD=2x,梯形面积为S。
(1)求面积S以x为自变量的函数式,并写出其定义域;
(2)求面积S的最大值。
题型:解答题难度:中档来源:北京高考真题

答案

解:(1)依题意,以AB的中点O为原点建立直角坐标系(如图),
则点C的横坐标为x
点C的纵坐标y满足方程
解得


其定义域为
(2)记

,得
因为当时,
时,
所以是f(x)的最大值
因此,当时,S也取得最大值,最大值为
即梯形面积S的最大值为

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