(1)已知函数f(x)=lnx-x+1，x∈(0，+∞)，求函数f(x)的最大值；(2)设ak，bk(k=1，2，…，n)均为正数，证明：①若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，则

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(1)已知函数f(x)=lnx-x+1，x∈(0，+∞)，求函数f(x)的最大值；
(2)设a_k，b_k(k=1，2，…，n)均为正数，
证明：①若a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤b₁+b₂+…+b_n，则；
②若b₁+b₂+…+b_n=1，则。

题型：解答题难度：偏难来源：湖北省高考真题

答案

解：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，
令，解得x=1，
当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)在(0，1)内是增函数；
当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)在(1，+∞)内是减函数；
故函数f(x)在x=1处取得最大值f(1)=0．
(2)①由(1)知，当x∈(0，+∞)时，有f(x)≤f(1)=0，即lnx≤x-1，
∵ak，bk＞0，从而有lnak≤ak-1，得bklnak≤akbk-bk(k=1，2，…，n)．
求和得，
，
∴，即，
∴。
②(i)先证，
令(k=1，2，…，n)，
则，
于是由①得，即，
∴；
(ii)再证，
记，令(k=1，2，…，n)，
则，
于是由(1)得，
即，
∴；
综合(i)(ii)，②得证．

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(1)已知函数f(x)=lnx-x+1，x∈(0，+∞)，求函数f(x)的最大值；(2)设ak，bk(k=1，2，…，n)均为正数，证明：①若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，则

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