定义在D={x∈R|x≠0}上的函数f（x）满足两个条件：①对于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=x2+y2xy；②曲线y=f（x）存在与直线x+y+1=0平行的切线．（Ⅰ）求过点（-

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定义在D={x∈R|x≠0}上的函数f（x）满足两个条件：①对于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=

x2+y2

；②曲线y=f（x）存在与直线x+y+1=0平行的切线．
（Ⅰ）求过点（-1，

）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞），n∈N⁺时，求证：f_n（x）-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）令x=y=1得，f2（1）-f（1）=2，解得f（1）=-1或f（1）=2．
当f（1）=-1时，令y=1得，f（x）=-

x2+1

，即f（x）=-class="stub"1

（x+class="stub"1

），
f′（x）=-class="stub"1

（1-class="stub"1

），
由f′（x）=-1得，x2=-1，此方程在D上无解，这说明曲线y=f（x）不存在与直线x+y+1=0平行的切线，不合题意，
则f（1）=2，此时，令y=1得，f（x）=

x2+1

=x+class="stub"1

，f′（x）=1-class="stub"1

，
由f′（x）=-1得，x2=class="stub"1

，此方程在D上有解，符合题意．
设过点（-1，class="stub"1

）的切线切曲线y=f（x）于（x0，x0+class="stub"1

），则切线的斜率为1-class="stub"1

x02

，
其方程为y-x0-class="stub"1

=（1-class="stub"1

x02

）（x-x0），把点（-1，class="stub"1

）的坐标代入整理得，
5x02-8x0-4=0，解得x0=-class="stub"2

或x0=2，
把x0=-class="stub"2

或x0=2分别代入上述方程得所求的切线方程是：y=-class="stub"21

x-5和y=class="stub"3

x+1，
即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+class="stub"1

，当n∈N*时，
fn（x）-f（xn）=(x+class="stub"1

)n-（xn+class="stub"1

）
=

xn-1•class="stub"1

xn-2•class="stub"1

+…+

n-2n

x2•class="stub"1

xn-2

n-1n

x•class="stub"1

xn-1

xn-2+

xn-4+…+

n-2n

class="stub"1

xn-4

n-1n

class="stub"1

xn-2

，
由x∈（0，+∞），n∈N*知，xn∈（0，+∞），那么
2（fn（x）-f（xn））=

xn-2+

xn-4+…+

n-2n

class="stub"1

xn-4

n-1n

class="stub"1

xn-2

n-1n

class="stub"1

xn-2

n-2n

class="stub"1

xn-4

+…+

xn-4+

xn-2
=

xn-2+

xn-4+…+

n-2n

class="stub"1

xn-4

n-1n

class="stub"1

xn-2

class="stub"1

xn-2

class="stub"1

xn-4

+…+

n-2n

xn-4+

n-1n

xn-2
=

（xn-2+class="stub"1

xn-2

）+

（xn-4+class="stub"1

xn-4

）+…+

n-1n

（xn-2+class="stub"1

xn-2

）
≥2

+…+2

n-1n

）
=2（

+…+

n-1n

）
=2[（

+…+

n-1n

）-

）]
=2（2n-2）
所以fn（x）-f（xn）≥2n-2．

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定义在D={x∈R|x≠0}上的函数f（x）满足两个条件：①对于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=x2+y2xy；②曲线y=f（x）存在与直线x+y+1=0平行的切线．（Ⅰ）求过点（-

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