已知函数f(x)=alnxx+1+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnxx-1+kx,求k的取值

题目简介

已知函数f(x)=alnxx+1+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnxx-1+kx,求k的取值

题目详情

已知函数f(x)=
alnx
x+1
+
b
x
,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>
lnx
x-1
+
k
x
,求k的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

由题意f(1)=1,即切点坐标是(1,1)
(Ⅰ)f′(x)=
a(class="stub"x+1
x
-lnx)
(x+1)2
-class="stub"b
x2

由于直线x+2y-3=0的斜率为-class="stub"1
2
,且过点(1,1),故
f(1)=1
f′(1)=-class="stub"1
2

b=1
class="stub"a
2
-b=-class="stub"1
2
解得a=1,b=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=class="stub"lnx
x+1
+class="stub"1
x
,所以
f(x)-(class="stub"lnx
x-1
+class="stub"k
x
)=class="stub"1
1-x2
(2lnx+
(k-1)(x2-1)
x
).
考虑函数h(x)=2lnx+
(k-1)(x2-1)
x
(x>0),则
h′(x)=
(k-1)(x2+1)+2x
x2

(i)设k≤0,由h′(x)=
k(x2+1)- (x-1)2
x2
知,当x≠1时,h′(x)<0.而h(1)=0,故
当x∈(0,1)时,h′(x)<0,可得class="stub"1
1-x2
h(x)>0

当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,可得class="stub"1
1-x2
h(x)>0
从而当x>0,且x≠1时,f(x)-(class="stub"lnx
x-1
+class="stub"k
x
)>0,即f(x)>class="stub"lnx
x-1
+class="stub"k
x

(ii)设0<k<1.由于当x∈(1,class="stub"1
1-k
)时,(k-1)(x2+1)+2x>0,故h′(x)>0,而
h(1)=0,故当x∈(1,class="stub"1
1-k
)时,h(x)>0,可得class="stub"1
1-x2
h(x)<0,与题设矛盾.
(iii)设k≥1.此时h′(x)>0,而h(1)=0,故当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,可得class="stub"1
1-x2
h(x)<0,与题设矛盾.
综合得,k的取值范围为(-∞,0]

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