已知定义在正实数集上的函数f(x)=12x2+2ex，g（x）=3e2lnx+b（其中e为常数，e=2.71828…），若这两个函数的图象有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）当x

题目简介

已知定义在正实数集上的函数f(x)=

x2+2ex，g（x）=3e²lnx+b（其中e为常数，e=2.71828…），若这两个函数的图象有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）当x∈[1，e]时，2(f(x)-2ex)+

6e2

(2g(x)+e2)≤(a+2)x恒成立，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：青岛二模

（Ⅰ）求导数可得：f'（x）=x+2e，g′(x)=

3e2

…（2分）
设函数f(x)=class="stub"1

x2+2ex与g（x）=3e2lnx+b的图象有公共点为（x0，y0）
由题意得

class="stub"1

x02+2ex0=3e2lnx0+b

x0+2e=

3e2

x0＞0

…（4分）
解得：b=-

…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)=3e2lnx-

所以2(f(x)-2ex)+class="stub"a

6e2

(2g(x)+e2)=x2+alnx，即a（x-lnx）≥x2-2x…（1）
当x∈[1，e]时，lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，∴x-lnx＞0
所以由（1）式可得a≥

x2-2x

x-lnx

在[1，e]上恒成立 …（9分）
设F(x)=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，则F′(x)=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

…（11分）
显然有x-1≥0，又lnx≤1，∴x+2-2lnx＞0
所以F'（x）≥0（仅当x=1时取等号），
∴F（x）在[1，e]上为增函数 …（12分）
故F(x)max=F(e)=

e2-2e

e-1

所以实数a的取值范围是[

e2-2e

e-1

，+∞)．…（14分）