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> 已知函数f(x)=38x2+lnx+2,g(x)=x.(Ⅰ)求函数F(x)=f(x)-2•g(x)的极值点;(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)-2•g(x)在[et,+∞)(t∈Z)上有零点,求t的最大值
已知函数f(x)=38x2+lnx+2,g(x)=x.(Ⅰ)求函数F(x)=f(x)-2•g(x)的极值点;(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)-2•g(x)在[et,+∞)(t∈Z)上有零点,求t的最大值
题目简介
已知函数f(x)=38x2+lnx+2,g(x)=x.(Ⅰ)求函数F(x)=f(x)-2•g(x)的极值点;(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)-2•g(x)在[et,+∞)(t∈Z)上有零点,求t的最大值
题目详情
已知函数
f(x)=
3
8
x
2
+lnx+2
,g(x)=x.
(Ⅰ)求函数F(x)=f(x)-2•g(x)的极值点;
(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)-2•g(x)在[e
t
,+∞)(t∈Z)上有零点,求t的最大值;
(Ⅲ)证明:当x>0时,有
[1+g(x)
]
1
g(x)
<e
成立;若
b
n
=g(n
)
1
g(n+1)
(n∈N
*
),试问数列{b
n
}中是否存在b
n
=b
m
(n≠m)?若存在,求出所有相等的两项;若不存在,请说明理由.(e为自然对数的底数)
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)由题知:
F(x)=
class="stub"3
8
x
2
+lnx+2-2x
,定义域为(0,+∞);求导,得
F′(x)=
(3x-2)(x-2)
4x
,令F′(x)=0
,得
x=
class="stub"2
3
,或x=3;∴函数F(x)的单调递增区间为
(0,
class="stub"2
3
]和[2,+∞)
,F(x)的单调递减区间为
[
class="stub"2
3
,2]
,
即
x=
class="stub"2
3
为F(x)的极大值点,x=2为F(x)的极小值点;
(Ⅱ)∵F(x)在x∈
[
class="stub"2
3
,+∞)
上的最小值为F(2),且F(2)=
class="stub"3
8
×
2
2
-4+2+ln2=ln2-
class="stub"1
2
=
class="stub"ln4-1
2
>0
;
∴F(x)在x∈
[
class="stub"2
3
,+∞)
上没有零点;要使函数F(x)在[et,+∞)(t∈Z)上有零点,并考虑到F(x)在
(0,
class="stub"2
3
]
单调递增且在
[
class="stub"2
3
,2]
单调递减,故只须
e
t
<
class="stub"2
3
且F(et)≤0即可;
易验证
F(
e
-1
)=
class="stub"3
8
•
e
-2
+1-2
e
-1
>0,F(
e
-2
)=
class="stub"3
8
•
e
-4
+ln
e
-2
+2-2
e
-2
=
class="stub"1
e
2
(
class="stub"3
8
•
e
-2
-2)<0
,
所以,当t≤-2且t∈Z时均有F(et)<0,此时函数F(x)在[et,e-1)(t∈Z)上有零点,
即函数F(x)在[et,+∞)(t∈Z)上有零点时,t的最大值为-2.
(Ⅲ) 要证明:当x>0时,不等式
[1+g(x)
]
class="stub"1
g(x)
<e
成立,
即证:
(1+x
)
class="stub"1
x
<e⇔
class="stub"1
x
ln(1+x)<1⇔ln(1+x)<x
成立,
构造函数h(x)=ln(1+x)-x(其中x>0),则
h′(x)=
class="stub"1
1+x
-1=
class="stub"-x
1+x
<0
,
所以函数h(x)在(0,+∞)上是减函数,因而x>0时,h(x)<h(0)=0,
即:x>0时,ln(1+x)<x成立,所以当x>0时,
[1+g(x)
]
class="stub"1
g(x)
<e
成立;
因为
b
n
=
n
class="stub"1
n+1
,所以
(
b
n+1
)
(n+1)(n+2)
(
b
n
)
(n+1)(n+2)
=
(n+1)
n+1
n
n+2
=
class="stub"n+1
n
2
•(1+
class="stub"1
n
)
n
<
e(n+1)
n
2
<
3(n+1)
n
2
,
令
3(n+1)
n
2
<1
,得:n2-3n-3>0,结合n∈N*得:n≥4,
因此,当n≥4时,有
(
b
n+1
)
(n+1)(n+2)
(
b
n
)
(n+1)(n+2)
<1
,
所以当n≥4时,bn>bn+1,即:b4>b5>b6>…,
又通过比较b1、b2、b3、b4的大小知:b1<b2<b3<b4,
因为b1=1,且n≠1时
b
n
=
n
class="stub"1
n+1
≠1
,所以若数列{bn}中存在相等的两项,只能是b2、b3与后面的项可能相等,
又
b
2
=
2
class="stub"1
3
=
8
class="stub"1
9
=
b
8
,
b
3
=
3
class="stub"1
4
>
b
5
=
5
class="stub"1
6
,所以数列{bn}中存在唯一相等的两项,
即:b2=b8.
上一篇 :
函数f(x)=12x-x3在区间[-3,3]上的
下一篇 :
函数的最大值为[]A.e-1B.eC.e2D.-
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(Ⅰ)求函数F(x)=f(x)-2•g(x)的极值点;
(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)-2•g(x)在[et,+∞)(t∈Z)上有零点,求t的最大值;
(Ⅲ)证明:当x>0时,有[1+g(x)]
答案
,得x=
即x=
(Ⅱ)∵F(x)在x∈[
∴F(x)在x∈[
易验证F(e-1)=
所以,当t≤-2且t∈Z时均有F(et)<0,此时函数F(x)在[et,e-1)(t∈Z)上有零点,
即函数F(x)在[et,+∞)(t∈Z)上有零点时,t的最大值为-2.
(Ⅲ) 要证明:当x>0时,不等式[1+g(x)]
即证:(1+x)
构造函数h(x)=ln(1+x)-x(其中x>0),则h′(x)=
所以函数h(x)在(0,+∞)上是减函数,因而x>0时,h(x)<h(0)=0,
即:x>0时,ln(1+x)<x成立,所以当x>0时,[1+g(x)]
因为bn=n
令
因此,当n≥4时,有
所以当n≥4时,bn>bn+1,即:b4>b5>b6>…,
又通过比较b1、b2、b3、b4的大小知:b1<b2<b3<b4,
因为b1=1,且n≠1时bn=n
又b2=2
即:b2=b8.