已知函数f（x）=（2x+a）•ex（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的极小值；（2）对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e2成立，求实数a的取值范围．-数学

题目简介

已知函数f（x）=（2x+a）•e^x（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的极小值；
（2）对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e²成立，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：温州一模

（1）f′（x）=（2x+a+2）•ex，
当x＜-class="stub"a

-1时，f′（x）＜0，当x＞-class="stub"a

-1时，f′（x）＞0，
∴函数在(-∞，-class="stub"a

-1)上为减函数，在(-class="stub"a

-1，+∞)上为增函数，
∴x=-class="stub"a

-1时，函数取得极小值，极小值为f(-class="stub"a

-1)=-2eclass="stub"a

-1；
（2）由（1）知-class="stub"a

-1≤-1，即a≥0时，f（x）在[-1，1]上为增函数
∴f（x）max=f（1），f（x）min=f（-1）
∵对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e2成立，
∴

f(-1)≥-2

f(1)≤e2

∴

(a-2)e-1≥-2

(a+2)e≤e2

∴0≤a≤e-2
-class="stub"a

-1≥1，即a≤-4时，f（x）在[-1，1]上为减函数
∴f（x）max=f（-1），f（x）min=f（1）
∵对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e2成立，
∴

f(1)≥-2

f(-1)≤e2

∴

(a+2)e≥-2

(a-2)e-1≤e2

，无解；
-1＜-class="stub"a

-1＜1，即-4＜a＜0时，f（x）在[-1，-class="stub"a

-1）上为减函数，在[-class="stub"a

-1，1）上为增函数
∴f（x）max={f（-1），f（1）}，f（x）min=f(-class="stub"a

-1)
∴

(a+2)e≤e2

(a-2)e-1≤e2

-2eclass="stub"a

-1≥-2

∴-2≤a＜0
综上，a的取值范围为-2≤a≤e-2．