设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围。-高三数学

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设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围。

题型：解答题难度：中档来源：高考真题

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解：令，
对函数g(x)求导数：，
令g′(x)=0解得，
（i）当时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，+∞)上是增函数，
又g（0）=0，
所以对x≥0，有，
即当时，对于所有x≥0，都有；
（ii）当a＞1时，对于，所以g(x)在是减函数，
又g（0）=0，所以对有，即，
所以，当a＞1时，不是对所有的x≥0都有成立；
综上，a的取值范围是。

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