已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）。（1）当时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x）在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x
已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）。（1）当时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x）在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的 “活动函数”。已知函数f1（x）=（a-）x2+2ax+（1-a2）lnx，f2（x）=x2+2ax。①若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围；②当时，求证：在区间（1，+∞）上，函数f1（x），f2（x）的“活动函数”有无穷多个。
题目简介
已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）。（1）当时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x）在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x
题目详情
已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）。![]()
时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；![]()
）x2+2ax+（1-a2）lnx，f2（x）=![]()
x2+2ax。![]()
时，求证：在区间（1，+∞）上，函数f1（x），f2（x）的“活动函数”有无穷多个。
（1）当
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x）在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的 “活动函数”。已知函数f1（x）=（a-
①若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围；
②当
答案
对于x∈[1，e]，有f'（x）>0，
∴f（x）在区间[1，e]上为增函数
∴
（2）①在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，
则f1（x）＜f（x）＜f2（x），令p（x）=f（x）- f2（x）=
对x∈（1，+∞）恒成立
且
对x∈ （1，+∞）恒成立
∴
（i）若
当x2>x1=1，即
此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；
p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
（ii）若
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，
只需满足p（1）=-a-
所以
又因为
h（x）在（1，+∞）上为减函数
所以
综合可知a的范围是
②当
则
因为
y=f2（x）- f1（x）在（1，+∞）上为增函数
所以
设
则f1（x）＜R（x）＜f2（x），
所以在区间（1，+∞）上，函数f1（x），f2（x）的“活动函数”有无穷多个
其他如R（x）=λf1（x）+μ（x）f2（x）（0 ＜λ，μ＜1，且λ+μ=1）等也可以。